Exponentielle Prozesse
Zur Orientierung
Exponentielle Prozesse begegnen uns vielfach im Alltag und spielen eine wichtige Rolle in vielen Wissenschaften. Wir wiederholen hier die Grundeigenschaft solcher Prozesse.
Typische Beispiele untersuchen
Wir betrachten hier typische Beispiele für exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse.
Beispiel: Papierfaltung
Ein 0.1 mm dickes Blatt Papier 0.1 wird wiederholt gefaltet. Wie hoch ist das gefaltete Blatt, wenn man 10 bzw. 100 mal faltet? Gehe unrealistischerweise davon aus, dass man ein Blatt Papier beliebig oft falten kann.
Beispiel: Populationsentwicklung
Eine Population aus Drosophila-Fliegen wächst jeden Tag um $25 \%$. Zu Beginn der Untersuchungen werden $20$ Drosophila-Fliegen gezählt. Wie viele Drosophila-Fliegen gibt es nach $60$ Tagen?
Beispiel: Medikamentenabbau
Die Konzentration eines Medikaments halbiert sich jede Stunde. Bei der Einnahme wurden $40$ mg des Medikaments eingenommen. Wie stark ist die Konzentration nach einem Tag?
Beispiel: Wertverlust
Das neue Auto hat $25000$ € gekostet. Jedes Jahr verliert es $15 \%$ seines Werts. Wieviel ist das Auto nach $10$ Jahren wert?
Aufgabe 1
Simuliere die in den Beispielen beschriebenen Prozesse mit dem folgenden Applet. Trage hierzu passende Werte in den Eingabefelder ein. Aktiviere zunächst die Schaltfläche [Ausgangswerte übernehme] und anschließend wiederholt die Schaltfläche [nächste Werte berechnen].
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse1.ggb
Aufgabe 2
In den Beispielen werden typische exponentielle Prozesse beschrieben. Trage die Parameter der Prozesse in die folgende Tabelle ein.
| Beispiel | Anfangsbestand | Schrittweite | Wachstumsfaktor |
|---|---|---|---|
| Papierfaltung | $0.1$ | $1$ | $2$ |
| Populationsentwicklung | |||
| Medikamentenabbau | |||
| Wertverlust |
Aufgabe 3
Verdeutliche (anhand der Beispiele mit Hilfe des Applets) die charakterisierende Eigenschaft exponentieller Prozesse.
Exponentieller Prozess
Eine Zuordnung, die jedem x-Wert (aus einer Ausgangsmenge) einen Bestandswert zuordnet, beschreibt einen exponentiellen Prozess genau dann, wenn sie folgende Grundeigenschaft hat: Zur gleichen Schrittweite gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.
Ist der Wachstumsfaktor größer als $1$, so liegt exponentielles Wachstum vor. Liegt der Wachstumsfaktor zwischen $0$ und $1$, so liegt exponentieller Zerfall vor.
Aufgabe 4
Begründe (ggf. exemplarisch anhand der oben aufgeführten Beispiele), dass prozentuale Wachstums- und Zerfallsprozesse exponentielle Prozesse sind.
Prozentuales Wachstum
Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von $p \%$ (für eine vorgegebene Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 + \frac{p}{100}$ (zur vorgegebenen Schrittweite).
Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Abnahmerate von $p \%$ (für eine vorgegebene Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 - \frac{p}{100}$ (zur vorgegebenen Schrittweite).
Quellen
- [1]: Papierstapel - Urheber: Glitch - Lizenz: Gemeinfrei
- [2]: Drosophila - Urheber: MA Hanson - Lizenz: Creative Commons BY-SA 4.0
- [3]: Medikament - Urheber: Bastique - Lizenz: Gemeinfrei
- [4]: Auto - Urheber: Kurt Kaiser - Lizenz: Gemeinfrei
