Beschreibung mit Funktionen
Zur Orientierung
Leitfrage: Wie beschreibt man exponentielle Prozesse mit Hilfe von Funktionen?
Exponentielle Prozesse mit Funktionen beschreiben
Wir betrachten exponentielle Prozesse, bei denen der Wachstumsfaktor zur Schrittweite $1$ vorgegeben ist.
| Beispiel | Anfangsbestand | Wachstumsfaktor zur Schrittweite $1$ |
Funktionsgleichung |
|---|---|---|---|
| Papierfaltung | $0.1$ | $2$ | $f(x) = $ |
| Populationsentwicklung | $20$ | $1.25$ | $f(x) =$ |
| Medikamentenabbau | 40 | $0.5$ | $f(x) = $ |
| Wertverlust | $25000$ | $0.85$ | $f(x) = $ |
Aufgabe 1
(a)
Im Applet sind die Parameter für den exponentiellen Wachstumsprozess Papierfalten
bereits eingestellt.
Erzeuge mit [nächste Werte berechnen] einige Bestandswerte.
Ergänze im oberen Fenster im Eingabefeld die Funktionsgleichung der Funktion $f$ so, dass der Graph durch die Punkte zur Bestandsentwicklung verläuft.
Hinweis: Eine Potenz wie z.B. $2^3$ wird in der Form 2^3 eingegeben.
(b) Bestimme analog Funktionen zur Beschreibung der weiteren Beispielprozesse. Trage jeweils die Funktionsgleichung in der Tabelle oben ein.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse2.ggb
(c) Verdeutliche anhand der Beispiele:
Beschreibung exponentieller Prozesse mit Exponentialfunktionen
Betrachte einen exponentiellen Prozess mit einem Anfangswert $a$ (das ist eine beliebige reelle Zahl) und einem Wachstumsfaktor $b$ (das ist eine beliebige positive reelle Zahl ungleich $1$). Ein solcher exponentieller Prozess lässt sich mit einer Exponentialfunktion der folgenden Gestalt beschreiben.
$f(x) = a \cdot b^x$ (wobei $x$ eine beliebige reelle Zahl sein kann)
Beachte:
- Wenn $x$ die Zeit beschreibt, dann nutzt man häufig die Funktionsvariable $t$ und beschreibt die Funktion in der Form $f(t) = a \cdot b^t$.
- Man kann selbstverständlich auch einen anderen Funktionsnamen nutzen und die Funktion so darstellen: $B(t) = a \cdot b^t$.
Exponentielle Prozesse mit e-Funktionen beschreiben
Wir wiederholen hier ... Eine ausführlichere Darstellung findest du im Kapitel ...
Exponentielle Prozesse werden sehr häufig mit e-Funktionen beschrieben. Der folgende liefert hierfür die Grundlage.
Exponentialfunktionen und e-Funktionen
Jede e-Funktion vom Typ $f(x) = e^{k \cdot x}$ ist eine Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$. Es gilt:
$f(x) = e^{k \cdot x} = {\left(e^{k}\right)}^x = b^x$ mit $b = e^k$.
Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$ kann als e-Funktion vom Typ $f(x) = e^{k \cdot x}$ dargestellt werden. Es gilt:
$f(x) = b^x = {\left(e^{\ln(b)}\right)}^x = e^{\ln(b) \cdot x} = e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(b)$.
Beachte auch hier:
- Wenn $x$ die Zeit beschreibt, dann nutzt man häufig die Funktionsvariable $t$ und beschreibt die Funktion in der Form $f(t) = a \cdot e^{k \cdot x}$.
- Man kann selbstverständlich auch einen anderen Funktionsnamen nutzen und die Funktion so darstellen: $B(t) = a \cdot e^{k \cdot x}$.
Beispiele
$f(x) = e^{0.5 \cdot x} = {\left(e^{0.5}\right)}^x = b^x$ mit $b = e^{0.5} \approx 1.65$.
$f(x) = 2^x = {\left(e^{\ln(2)}\right)}^x = e^{\ln(2) \cdot x} = e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(2) \approx 0.69$.
Aufgabe 2
Nutze den Satz, um die exponentiellen Beispielprozesse mit Hilfe von e-Funktionen zu beschreiben. Überprüfe die Funktionsgleichungen im Applet oben.
| Beispiel | Anfangsbestand | Wachstumsfaktor zur Schrittweite $1$ |
Funktionsgleichung |
|---|---|---|---|
| Papierfaltung | $0.1$ | $2$ | $f(x) = \dots e^{\dots}$ |
| Populationsentwicklung | $20$ | $1.25$ | $f(x) =$ |
| Medikamentenabbau | 40 | $0.5$ | $f(x) = $ |
| Wertverlust | $25000$ | $0.85$ | $f(x) = $ |
