Strukturierung – Begrenztes Wachstum
Zur Orientierung
In den Erkundungskapiteln wurden Beispiele für begrenzte Wachstumsprozesse untersucht. Wir stellen hier die charakteristischen Eigenschaften von begrenztem Wachstum heraus.
Ein begrenztes Wachstum modellieren
Die Übersicht zeigt die Modellierungen zur Gerüchtausbreitung und zum Abkühlungsprozess.
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
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In den beiden (Wachstums- bzw. Abnahme-) Prozessen gilt:
- Der Bestand $B(t)$ nähert sich einer Grenze $G$.
- Die Annäherung erfolgt von einem Startwert $B_0$ aus so, dass die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell mit einer Wachstumskonstanten $k$ abnimmt. Die Konstande $k$ beschreibt die Annäherungsrate.
Aufgabe 1
Gib für beide Prozesse die Grenze $G$, den Startwert $B_0$ und die Annäherungsrate $k$ an. Verdeutliche deine Angaben im folgenden Applet. Nutze dabei passende Eingaben für $xMax$ und $yMax$ zur Skalierung der Koordinatenachsen.
Zum Herunterladen: beschraenkteswachstum2.ggb
Aufgabe 2
Verdeutliche (anhand der Beispiele), dass beide Prozesse mit Funktionsgleichung der folgenden Form beschrieben werden können.
$B(t) = G + (B_0 - G) \cdot e^{-k t}$ bzw. $B(t) = G - (G - B_0) \cdot e^{-k t}$
Kontrolle
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
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$B(t) = \underbrace{6000}_{G} - \underbrace{5600}_{G-B_0} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $B(t) = \underbrace{6000}_{G} + \underbrace{(-5600)}_{B_0-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
$B(t) = \underbrace{20}_{G} + \underbrace{70}_{B_0-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $B(t) = \underbrace{20}_{G} - \underbrace{(-70)}_{G-B_0} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
Aufgabe 3
Zeige, dass für die Ableitung der Bestandsfunktion folgender Zusammenhang gilt.
$B'(t) = k \cdot (G - B(t))$
Deute diesen Zusammenhang: Die momentane Änderung des Bestandes ist proportional ...
Ergebnisse zusammenfassen und sichern
Wir fassen die Ergebnisse zum begrenzten Wachstum zusammen.
Begrenztes Wachstum
Die Funktion $B$ beschreibe das Wachstum (bzw. die Abnahme) eines Bestandes. Es liegt ein begrenztes Wachstum mit einer Grenze $G$ vor, wenn die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell abnimmt.
Beschreibung eines begrenzten Wachstums
Wenn die Funktion $B$ ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ beschreibt, dann gibt es eine Wachstumskonstante bzw. Annäherungsrate $k$, so dass man mit $B_0 = B(0)$ die Bestandsentwicklung $B(t)$ so beschreiben kann:
$B(t) = G + (B_0-G) \cdot e^{-kt}$ bzw. $B(t) = G - (G-B_0) \cdot e^{-kt}$
Für die momentane Änderung des Bestandes gilt dann die folgende Differentialgleichung:
$B'(t) = k \cdot (G - B(t))$
Die momentane Änderung des Bestandes ist also proportional zur momentanen Abweichung des Bestandes von der Grenze.
