Vertiefung - Grenzwert der Koffein-Folge

Die bisher erzielten Ergebnisse

Wir betrachten weiterhin die Koffein-Folge mit dieser Festlegung:

$a_n$: Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$-te Tasse Kaffee (für $n=1;2;3;...$)

Der Graph der Folge zeigt eine interessante Entwicklung.

Die Folgenglieder stabilisieren sich mit wachsender Platznummer bei einem Grenzwert $g=180$.

Das Grenzverhalten begründen - Version 1

Die Folgenglieder $a_1;a_2;...$ der Koffeinfolge lassen sich mit einer rekursiven Darstellung berechnen:

$a_1=90$
$a_n=0.5\cdot a_{n-1}+90$ für $n=2;3;...$

Für die Folgenglieder gilt demnach:

$a_1=90$
$a_2=0.5\cdot 90+90=(1+0.5)\cdot 90$
$a_3=0.5\cdot a_2+90=0.5\cdot ((1+0.5)\cdot 90)+90=(1+0.5+{0.5}^2)\cdot 90$
$a_4=...$

Aufgabe 1

(a) Begründe die Umformungsschritte. Ergänze analoge Umformungen für $a_4$.

(b) Ergänze auch eine allgemeine Formel.

$a_n=...$

Aufgabe 2

(a) Betrachte die Folge $\left(b_n\right)$ mit $b_n=1+0.5+{0.5}^2+...+{0.5}^{n-1}$ (für $n=1;2;3;...$). Für die Folgenglieder gilt dann:

$b_1=1$
$b_2=1+0.5=1+\frac{1}{2}$
$b_3=1+0.5+{0.5}^2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
$b_4=...$

Begründe mit Hilfe der Abbildung, dass $b_n$ mit wachsendem $n$ sich immer mehr dem Wert $2$ annähert.

[1]

(b) Nutze das Ergebnis aus (a), um das Grenzverhalten der Koffein-Folge zu begründen.

Das Grenzverhalten begründen - Version 2

Die Folgenglieder $a_1;a_2;...$ der Koffeinfolge lassen sich auch mit einer expliziten Darstellung berechnen:

$a_n=180\cdot (1-{0.5}^n)$ für $n=1;2;3;...$

(a) Überprüfe exemplarisch, ob die explizite Darstellung tatsächlich die korrekten Werte liefert. Berechne hierzu mindestens 3 Folgenglieder mit der expliziten Darstellung.

(b) Nutze die explizite Darstellung, um das Grenzverhalten der Koffein-Folge zu begründen.