Erarbeitung - Rechnerische Bestimmung

Einen Grenzwert rechnerisch bestimmen

Der Folgengleichung $a_n={\displaystyle \frac{n^2+1}{2n^2+n}}$ sieht man den vermuteten Grenzwert $g=0.5$ nicht direkt an. Im vorliegenden Beispiel hilft es, den Folgenterm umzuformen.

$a_n={\displaystyle \frac{n^2+1}{2n^2+n}}={\displaystyle \frac{n^2\cdot (1+\frac{1}{n^2})}{n^2\cdot (2+\frac{1}{n})}}={\displaystyle \frac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}}$

Aufgabe 1

(a) Erkläre die Umformungen des Folgenterms.

(b) Begründe mit Hilfe des umgefomten Terms $a_n={\displaystyle \frac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}}$, dass die Folge $(a_n)$ den Grenzwert $g=0.5$ hat.

(c) Warum war es günstig, im Ausgangsterm jeweils die höchste Potenz $n^2$ auszuklammern? Erläutere die Strategie.

Aufgabe 2

Bestimme analog das Grenzverhalten bei diesen Folgen:

(a) $a_n={\displaystyle \frac{2n^3-1}{n^3+2n^2}}$

(b) $b_n={\displaystyle \frac{n+1}{n^2+n-1}}$

(c) $c_n={\displaystyle \frac{n^3+n^2}{n^4+2}}$

(d) $d_n={\displaystyle \frac{n^4+2}{n^3+n^2}}$

Aufgabe 3

Wie verhält sich die Folge, wenn ...

• die höchste Potenz im Nenner vorkommt?
• die höchste Potenz im Zähler und Nenner vorkommt?
• die höchste Potenz im Zähler vorkommt?

Aufgabe 4

Konstruiere selbst Folgen, die den Grenzwert 4 bzw. -1 bzw. 0 haben.