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Einstieg - Stabilisierung von Folgengliedern

Zur Orientierung

Wir starten hier mit Ergebnissen aus dem vorangehenden Erkundungskapitel. In diesem Kapitel lösen wir uns vom Kontext Koffein-Folge und betrachten das Stabilisierungsverhalten von beliebigen Folgen.

Das Grenzverhalten der Koffein-Folge

Im letzten Abschnitt wurde die Koffein-Folge untersucht, die so festgelegt ist: $a_{n}$ beschreibt die Menge an Koffein [in mg] im Körper unmittelbar nach der $n$ -te Tasse Kaffee (für $n = 1; 2; 3; . . .$ ).

Das Applet zeigt, wie man die Folgenglieder $a_{1}; a_{2}; . . .$ (bis $a_{50}$ ) rekursiv berechnen kann.

Zum Herunterladen: koffeinfolge_rekursiv.ggb

Der Graph der Folge verdeutlicht das Stabilisierungsverhalten der Folge.

Grenzverhalten beschreiben

Wir führen jetzt Begriffe und Schreibweisen ein, um dieses Stabilisierungsverhalten zu beschreiben.

Grenzwert einer Folge

Eine Folge $(a_{n})$ heißt konvergent genau dann, wenn sich die Folgenglieder mit wachsender Platznummer bei einer festen reellen Zahl $g$ stabilisieren. Diese Zahl $g$ nennt man dann Grenzwert der Folge.

Eine Folge $(a_{n})$ heißt divergent genau dann, wenn sie nicht konvergent ist (bzw. keinen Grenzwert hat).

Wenn eine Folge $(a_{n})$ den Grenzwert $g$ hat, dann beschreiben wir dieses Grenzverhalten informell mit $a_{n} \to g$ (für $n \to \infty$ ) oder ganz formal mit dieser Schreibweise:.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = g$

Gelesen wird das so: "Der Limes (bzw. Grenzwert) von $a_{n}$ für $n$ gegen Unendlich ist gleich $g$ ".

Aufgabe 1

Benutze die Begriffe, um das Stabilisierungsverhalten der Koffein-Folge zu beschreiben.

Zur Orientierung

Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Stabilisierungsverhalten bzw. Grenzverhalten bei weiteren Folgen zu untersuchen.

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Das Grenzverhalten der Koffein-Folge

Grenzverhalten beschreiben

Grenzwert einer Folge

Aufgabe 1

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