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Zusammenfassung - Stetigkeit von Funktionen

Die Grundidee

Mit dem Konzept der Stetigkeit erfasst man in der Mathematik, ob sich die Funktionswerte einer Funktion kontinuierlich oder sprunghaft verändern.

Die Übersicht verdeutlicht dieses unterschiedliche Verhalten anhand eines Beispiels: Hier werden für zwei Tarifmodelle die Parkkosten in Abhängigkeit von der Parkzeit mit Hilfe von Funktionsgraphen dargestellt.

kontiunierliche (stetige) Veränderung	sprunghafte (unstetige) Veränderung

Die Parkkosten wachsen hier kontinuirlich mit der Parkzeit. Wenn sich die Parkzeit geringfügig verändert, dann ändern sich die Parkkosten auch nur geringfügig.	Wenn die Parkzeit die 2h überschreitet, dann ändern sich die Parkkosten sprunghaft.
Man kann den Graph der Kostenfunktion ohne Absetzen des Stifts zeichnen.	Man muss den Stift einmal neu ansetzen, um den gesamten Graph der Kostenfunktion zu zeichnen.

Präzisierung - Stetigkeit an einer Stelle

Wir beginnen mit dem kontinuierlichen Verhalten. Die Übersicht verdeutlicht, wie man dieses Verhalten mit Grenzwertbegriff beschreibt.

kontiunierliche (stetige) Veränderung bei $a$ Stetigkeit an der Stelle $a$	kontiunierliche (stetige) Veränderung bei $a$ Stetigkeit an der Stelle $a$
Funktion: $f (x) = x + 1$ ; Stelle: $a = 1$	Funktion: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & wenn x \leq 1 \\ 2 & wenn x > 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$
Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f (x)$ bei $f (a)$ .	Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f (x)$ bei $f (a)$ .
Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert und stimmt mit $f (a)$ überein.	Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert und stimmt mit $f (a)$ überein.

Entsprechend lässt sich ein sprunghaftes Verhalten mit dem Grenzwertbegriff beschreiben.

sprunghafte (unstetige) Veränderung bei $a$ keine Stetigkeit an der Stelle $a$	sprunghafte (unstetige) Veränderung bei $a$ keine Stetigkeit an der Stelle $a$
Funktion: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & wenn x \leq 1 \\ 3 & wenn x > 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$	Funktion: $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & wenn x \neq 1 \\ 3 & wenn x = 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$
Wenn $x$ sich der Stelle $a$ von links bzw. rechts annähert, dann stabilisiert sich $f (x)$ bei unterschiedlichen Werten.	Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f (x)$ bei einer Zahl, aber nicht bei $f (a)$ .
Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert hier nicht.	Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert hier zwar, stimmt aber nicht mit $f (a)$ überein.

Beachte: An Definitionslücken werden keine Stetigkeitsaussagen getroffen.

Definitionslücke bei $a$ keine Stetigkeitsaussage bei $a$ möglich	Definitionslücke bei $a$ keine Stetigkeitsaussage bei $a$ möglich
Funktion: $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ; Stelle: $a = 1$	Funktion: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & wenn x < 1 \\ 3 & wenn x > 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$
Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert hier. Es ist jedoch kein Abgleich mit $f (a)$ möglich, da die Funktion $f$ an der Stelle $a$ nicht definiert ist.	Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert hier nicht. Zudem ist kein Abgleich mit $f (a)$ möglich, da die Funktion $f$ an der Stelle $a$ nicht definiert ist.

Die in den Übersichten bereits benutzten Beschreibungen eignen sich zur Charakterisierung der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.

Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle

Betrachte eine Stelle $a$ , an der eine gegebene Funktion $f$ definiert ist.

Die Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $a$ genau dann wenn gilt: Der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ existiert und stimmt mit $f (a)$ überein.

Das bedeutet inhaltlich: Wenn $x$ sich der Stelle $a$ immer mehr annähert, dann stabilisiert sich $f (x)$ bei $f (a)$ .

Beachte: Eine Funktion $f$ ist somit nicht steig an der Stelle $a$ genau dann, wenn der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x)$ nicht existiert oder wenn er existiert, aber nicht mit $f (a)$ übereinstimmt.

Präzisierung - globale Stetigkeit

Globale Stetigkeit bedeutet Stetigkeit an jeder Stelle aus der Definitionsmenge.

Stetigkeit einer Funktion

Die Funktion $f$ ist stetig in einem Intervall $I$ genau dann, wenn $f$ an jeder Stelle $a$ aus $I$ stetig ist.

Die Funktion $f$ ist stetig genau dann, wenn $f$ an jeder Stelle $a$ aus der Definitionsmenge der Funktion stetig ist.

Beachte: Eine Funktion $f$ ist somit nicht stetig genau dann, wenn es eine Stelle $a$ in der Definitionsmenge der Funktion gibt, an der die Funktion nicht stetig ist.

Die Übersicht zeigt zwei Beispiele für stetige Funtionen. Beachte insbesondere, dass nur die Stellen betrachtet werden, an der die Funktion definiert ist.

stetige Funktion	stetige Funktion
Funktion: $f (x) = x + 1$ ; Stelle: $a$ ist eine beliebige reelle Zahl	Funktion: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & wenn x < 1 \\ 3 & wenn x > 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a \neq 1$
Die Stelle $a$ ist eine beliebige Stelle auf der $x$ -Achse, an der die Funktion definiert ist.	Die Stelle $a$ ist eine beliebige Stelle auf der $x$ -Achse, an der die Funktion definiert ist.
Die Funktion ist stetig an der Stelle $a$ .	Die Funktion ist stetig an der Stelle $a$ .

In der folgenden Übersicht sind zwei Beispiele für nicht-stetige Funktionen aufgeführt. Es gibt jeweils (mindestens) eine Stelle, an der die Funktionen nicht stetig sind.

nicht-stetige Funktion	nicht-stetige Funktion
Funktion: $f (x) = {\begin{cases} x + 1 & wenn x \leq 1 \\ 3 & wenn x > 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$	Funktion: $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & wenn x \neq 1 \\ 3 & wenn x = 1 \end{cases}$ ; Stelle: $a = 1$
Betrachte die Stelle $a = 1$ .	Betrachte die Stelle $a = 1$ .
Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle $a$ .	Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle $a$ .

Ein Satz über stetige Funktionen

Stetige Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Wir verdeutlichen die Relevanz anhand des Nullstellensatzes.

Nullstellensatz für stetige Funktionen

Betrachte eine Funktion $f$ , die im Intervall $I = [a; b]$ stetig ist. Für eine solche Funktion gilt dann:

Wenn $f (a) < 0$ und $f (b) > 0$ , dann gibt es eine Stelle $x_{0}$ im Intervall $I$ mit $f (x_{0}) = 0$ .

Wenn $f (a) > 0$ und $f (b) < 0$ , dann gibt es eine Stelle $x_{0}$ im Intervall $I$ mit $f (x_{0}) = 0$ .

stetige Funktion	nicht-stetige Funktion

Wenn $f (a) < 0$ und $f (b) > 0$ und wenn der Graph zwischen $a$ und $b$ sich kontinuierlich verändert, dann schneidet der Graph die $x$ -Achse irgendwo zwischen $a$ und $b$ .	Die Sprungstelle im Graph ermöglicht es, dass $f (a) < 0$ und $f (b) > 0$ und dass der Graph die $x$ -Achse nicht schneidet.

Beachte auch die Voraussetzung im Nullstellensatz, dass die Funktion in einem Intervall (d.h., einen $x$ -Werte-Bereich ohne Lücken) stetig sein muss.

stetige Funktion	stetige Funktion

Wenn $f (a) < 0$ und $f (b) > 0$ und wenn der Graph zwischen $a$ und $b$ sich kontinuierlich verändert, dann schneidet der Graph die $x$ -Achse irgendwo zwischen $a$ und $b$ .	Die Funktion ist stetig an jeder Stelle, an der sie definiert ist. Wegen der Definitionslücke zwischen $a$ und $b$ gibt es hier Stellen $x$ im Intervall $[a; b]$ , an denen keine Stetigkeitsaussage getroffen wird. Die Definitionslücke ermöglicht es, dass $f (a) < 0$ und $f (b) > 0$ und dass der Graph die $x$ -Achse nicht schneidet.