Übungen - Stetigkeit von Funktionen

Aufgabe 1: Stetigkeit an einer Stelle

Entscheide jeweils, ob die Funktion $f$ stetig an der Stelle a stetig ist. Als mögliche Antworten sind ja (kurz: j), nein (kurz: n) und keine Aussage möglich (kurz: k) vorgesehen.

Funktion / Stelle	Applet	(j/n/k)
Funktion: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{wenn }x\text{ < }0\\ x^2+1& \text{wenn }x>0\end{array}$ Stelle: $a=0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{wenn }x\text{ < }0\\ 0& \text{wenn }x=0\\ x^2+1& \text{wenn }x>0\end{array}$ Stelle: $a=0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{wenn }x\text{ < }0\\ x^2& \text{wenn }x\ge 0\end{array}$ Stelle: $a=0$	Applet einblenden
Funktion: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{wenn }x\text{ < }0\\ x^2+1& \text{wenn }x\ge 0\end{array}$ Stelle: $a=0$	Applet einblenden

Aufgabe 2

(a) Entscheide jeweils, ob die vorgegebene Funktion an der Stelle $a=0$ stetig ist. Begründe die Entscheidung.

• $f_1(x)={\displaystyle \frac{x}{x}}$
• $f_2(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{x}}& \text{wenn }x\ne 0\\ 0& \text{wenn }x=0\end{array}$
• $f_3(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{0}{x}}& \text{wenn }x\ne 0\\ 0& \text{wenn }x=0\end{array}$
• $f_4(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{1}}& \text{wenn }x\ne 0\\ 0& \text{wenn }x=0\end{array}$
• $f_5(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{wenn }x\ne 0\\ 1& \text{wenn }x=0\end{array}$
• $f_6(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$
• $f_7(x)={\displaystyle \frac{0}{x}}$

(b) Entscheide jeweils, ob die Funktion $f$ stetig ist. Begründe die Entscheidung.

Aufgabe 3

(a) Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}$ ist an der Stelle $a=2$ nicht definiert. Wir ergänzen an dieser Stelle einen Funktionswert:

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}& \text{wenn }x\ne 2\\ 4& \text{wenn }x=2\end{array}$

Begründe, dass die ergänzte Funktion $g$ stetig ist.

(b) Prüfe, ob man bei den folgenden Funktionen die Definitionslücke(n) ebenfalls durch eine Erweiterung so schließen kann, dass die erweiterte Funktion stetig ist. Begründe jeweils.

• $f_1(x)={\displaystyle \frac{x}{x}}$
• $f_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$
• $f_3(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x^2-4}}$

Aufgabe 4

Bestimme den Parameter $c$ jeweils so, dass die Funktion stetig wird.

• $f_1(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1& \text{wenn }x\text{ < }0\\ -x^2+c& \text{wenn }x\ge 0\end{array}$
• $f_2(x)=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{wenn }x\le 2\\ (x-3{)}^2+c& \text{wenn }x>2\end{array}$
• $f_3(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3-x}{x}}& \text{wenn }x\ne 0\\ c& \text{wenn }x=0\end{array}$
• $f_4(x)=\{\begin{array}{ll}-x+2& \text{wenn }x\le -1\\ x+c& \text{wenn }x>-1\end{array}$