Erarbeitung - Grenzwertdefinition

Das Verhalten einer konvergenten Folge beschreiben

Wir betrachten als Beispiel die im Applet dargestellte Folge $(a_n)$ mit $a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$. Diese Folge hat offensichtlich den Grenzwert $g=0$. Dass das tatsächlich zutrifft, soll mit dem eingeführten Präzisierungsansatz erklärt werden.

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Aufgabe 1

In der Übersicht ist ein Dialog über die das Konvergenzverhalten der Folge dargestellt. Verdeutliche die Argumentation anhand dem Applet. Ergänze auch die noch fehlenden Angaben.

Wenn man die Streifenbreite $ϵ=0.5$ vorgibt, dann sieht man, dass es Folgenglieder gibt (z.B. $a_1=1$), die nicht in der $ϵ$-Umgebung zum Grenzwert $g=0$ liegen.	Ja, das stimmt. Es müssen auch nicht alle Folgenglieder nahe am Grenzwert liegen. Ab $n_0=3$ liegen aber alle Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung von $g$. Der Abstand von $a_3;a_4;a_5;...$ vom Grenzwert $g$ ist kleiner als $ϵ=0.5$.
Ok. Dann mache ich den Abstand kleiner und stelle die Streifenbreite $ϵ=0.2$ ein. Klappt das Argument dann auch noch?	Ja, klar. Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $ϵ$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ=0.2$ ist.
Jetzt mache ich den Abstand noch kleiner und stelle die Streifenbreite $ϵ=0.1$ ein. Wie sieht es dann mit der Entwicklung der Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert aus?	Kein Problem. Ab $n_0=...$ liegen alle Folgenglieder in der neuen $ϵ$-Umgebung. Sie haben alle einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ=0.1$ ist.
Und, funktioniert das bei jeder noch so kleinen Streifenbreite $ϵ$?	Ja. Man muss $n_0$ nur geeignet wählen. Für die vorliegende Folge kann man $n_0=...$ nehmen. Ab dieser Platznummer haben alle Folgenglieder einen Abstand vom Grenzwert $g$, der kleiner als $ϵ$ ist.

Das Verhalten einer divergenten Folge beschreiben

Wir betrachten als Beispiel die im Applet dargestellte Folge $(a_n)$. Bei dieser Folge gilt: $a_1=1;a_2=1;a_4=1;a_8=1;a_{16}=1,\dots$. Alle anderen Folgenglieder haben den Wert $0$. Diese Folge konvergiert nicht, auch nicht zum Grenzwert $g=0$. Dass das tatsächlich zutrifft, soll mit dem eingeführten Präzisierungsansatz erklärt werden.

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Aufgabe 2

Verdeutliche die Argumentation im Dialog anhand des Applets. Ergänze die fehlende Angabe.

Wenn man die Streifenbreite $ϵ=1.2$ vorgibt, dann liegen alle Folgenglieder ab $n_0=1$ in der $ϵ$-Umgebung um $g=0$. Spricht das nicht für Konvergenz?	Das reicht natürlich nicht. Wenn man die Streifenbreite $ϵ=...$ vorgibt, dann gelingt es nicht, eine Platznummer $n_0=1$ zu finden, ab der alle weiteren Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung um $g=2$ liegen.
Ok, das sehe ich ein. Man muss dann keine weiteren $ϵ$-Werte betrachten?	Ja genau. Es reicht, einen $ϵ$-Wert zu finden, für den die Folge ab einer Platznummer $n_0$ nicht in die $ϵ$-Umgebung reinpasst. Es gibt dann immer wieder Folgenglieder, die einen Mindestabstand von $ϵ$ zum Wert $g$ haben. Die Folge kann dann nicht den Grenzwert $g$ haben.

Eine Grenzwertdefinition formulieren konvergenten Folge beschreiben

Wir verwenden die Argumentation im Dialog als Basis für eine präzise Grenzwertdefinition.