o-mathe | Grenzverhalten von Folgen » Zusammenfassung

Zusammenfassung - Grenzwerte von Folgen

Stabilisierung der Folgenglieder

Die Stabilisierung der Folgenglieder ist ein Phänomen, das häufig in Anwendungssituationen auftritt. Hier ein Beispiel für eine Folge, deren Folgenglieder sich beim Grenzwert $1$ stabilisieren.

$(a_{n})$ : $2; 1.1; 1.001; 1.0001; 1.00001; . . .$

Zur Beschreibung eines solchen Stabilisierungsverhaltens nutzt man Fachbegriffe und geeignete Schreibweisen.

Grenzwert einer Folge

Eine Folge $(a_{n})$ heißt konvergent genau dann, wenn sich die Folgenglieder mit wachsender Platznummer bei einer festen reellen Zahl $g$ stabilisieren. Diese Zahl $g$ nennt man dann Grenzwert der Folge.

Eine Folge $(a_{n})$ heißt divergent genau dann, wenn sie nicht konvergent ist (bzw. keinen Grenzwert hat).

Wenn eine Folge $(a_{n})$ den Grenzwert $g$ hat, dann beschreiben wir dieses Grenzverhalten informell mit $a_{n} \to g$ (für $n \to \infty$ ) oder ganz formal mit dieser Schreibweise:.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = g$

Gelesen wird das so: "Der Limes (bzw. Grenzwert) von $a_{n}$ für $n$ gegen Unendlich ist gleich $g$ ".

Beispiele

Die Beispiele in der folgenden Übersicht zeigen verschiedene Möglichkeiten konvergenter und divergenter Folgen auf.

Folge $(a_{n})$	Grenzwert
	konvergent $a_{n} \to 2$ bzw. $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$
	divergent $g$ ex. nicht
	konvergent $a_{n} \to 0$ bzw. $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$
	divergent $g$ ex. nicht
	konvergent $a_{n} \to 0$ bzw. $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$
	konvergent $a_{n} \to 1$ bzw. $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$
	konvergent $a_{n} \to 1$ bzw. $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$
	divergent $g$ ex. nicht

Speziall - Nullfolgen

Nullfolge

Eine Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge genau dann, wenn sie den Grenzwert $0$ hat.

Beispiele:

$a_{n} = \frac{1}{n}$ ; $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ ; $a_{n} = \frac{1}{n^{3}}$ ; $a_{n} = \frac{1}{n^{0.5}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ ; $a_{n} = \frac{1}{n^{0.2}}$ ; ...

$a_{n} = {0.5}^{n}$ ; $a_{n} = {0.1}^{n}$ ; $a_{n} = {0.9}^{n}$ ; $a_{n} = {(- 0.5)}^{n}$ ; ...

Mit Hilfe von Nullfolgen lassen sich leicht konvergente Folgen mit beliebigen Grenzwerten konstruieren.

$lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2$
$lim_{n \to \infty} (1 + {0.1}^{n}) = 1$
$lim_{n \to \infty} (- 1 - {(- 0.5)}^{n}) = - 1$
$lim_{n \to \infty} (3 + \frac{1}{\sqrt{n}}) = 3$

Allgemein gilt:

Konstruktion konvergenter Folgen

Wenn $(h_{n})$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = c + h_{n}$ den Grenzwert $c$ .

Wenn $(h_{n})$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = c - h_{n}$ den Grenzwert $c$ .