Überprüfung - Grenzwerte bei Funktionen

Aufgabe 1: Grenzwerte für $x\to \pm \mathrm{\infty }$

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=3+{\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}$. Ziel ist es, das Verfalten von $f(x)$ für $x\to +\mathrm{\infty }$ und $x\to -\mathrm{\infty }$ zu bestimmen.

(a) Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x\to +\mathrm{\infty }$ und $x\to -\mathrm{\infty }$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ verhält, wenn $x\to +\mathrm{\infty }$ bzw. $x\to -\mathrm{\infty }$.

(b) Benutze Testeinsetzungen, um das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x\to +\mathrm{\infty }$ und $x\to -\mathrm{\infty }$ zu bestätigen. Berechne die Funktionswerte mit dem Taschenrechner.

(c) Überprüfe die Aussagen zum Grenzverhalten mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: grenzwertfunktion1graph.ggb

(d) Dokumentiere das Ergebnis mit einer geeigneten Schreibweise.

Aufgabe 2: Grenzwert für $x\to a$

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Ziel ist es, das Verfalten von $f(x)$ für $x\to 0$ zu bestimmen.

(a) Erschließe aus dem Funktionsterm das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x\to 0$ mit $x>0$ bzw. $x\text{ < }0$. Spiele hierzu in Gedanken durch, wie sich $f(x)$ verhält, wenn $x$ sich der Zahl $a=0$ von rechts bzw. links annähert.

(b) Benutze Testeinsetzungen, um das Grenzverhalten von $f(x)$ für $x\to 0$ mit $x>0$ bzw. $x\text{ < }0$ zu bestätigen. Berechne die Funktionswerte mit dem Taschenrechner.

(c) Überprüfe die Aussagen zum Grenzverhalten mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: grenzwertfunktion2graph.ggb

(d) Formuliere die Ergebnisse:

Für $x\to 0$ mit $x>0$ gilt $f(x)\to \dots$.
Für $x\to 0$ mit $x\text{ < }0$ gilt $f(x)\to \dots$.