o-mathe | Einstieg - Stabilisierung von Folgengliedern » Vertiefung

Vertiefung - Nullfolgen

Zur Orientierung

Wir betrachten hier den Spezialfall von konvergenten Folgen, die sich beim Grenzwert 0 stabilisieren.

Folgen mit dem Grenzwert 0

Nullfolge

Eine Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge genau dann, wenn sie den Grenzwert $0$ hat.

In den Aufgaben geht es darum, einige Standard-Nullfolgen kennen zu lernen.

Aufgabe 1

Im Applet werden Folgen mit $a_{n} = q^{n}$ dargestellt, wobei $q$ eine beliebige reelle Zahl sein kann. Untersuche, für welche $q$ -Werte die Folge eine Nullfolge ist. Formuliere ein Ergebnis.

Eine Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = q^{n}$ ist eine Nullfolge genau dann, wenn ...

Zum Herunterladen: nullfolge1.ggb

Aufgabe 2

Im Applet werden Folgen mit $a_{n} = \frac{1}{n^{r}}$ dargestellt, wobei $r$ eine beliebige reelle Zahl sein kann. Untersuche, für welche $r$ -Werte die Folge eine Nullfolge ist. Formuliere ein Ergebnis.

Eine Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = \frac{1}{n^{r}}$ ist eine Nullfolge genau dann, wenn ...

Zum Herunterladen: nullfolge2.ggb

Aufgabe 3

Gesucht ist eine Folge $(a_{n})$ , die ...

... sich dem Grenzwert $0$ von oben nähert.
... sich dem Grenzwert $0$ von unten nähert.
... sich dem Grenzwert $0$ abwechselnd von oben und unten nähert.
... sich dem Grenzwert $0$ sehr schnell von oben nähert.

Folgen mit vorgegebenen Grenzwerten konstruieren

Aufgabe 4

(a) Stelle jeweils eine Vermutung über den Grenzwert auf. Überprüfe die Vermutung mit den Applets (siehe unten). Welchen allgemeinen Zusammenhang vermutest du?

$lim_{n \to \infty} (4 + \frac{1}{n}) = \dots$
$lim_{n \to \infty} (3 - {0.7}^{n}) = \dots$
$lim_{n \to \infty} (- 1 - {(- 0.9)}^{n}) = \dots$
$lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n^{0.5}}) = \dots$

Applet 1 einblenden:

a_{n} = c \pm q^{n}

Zum Herunterladen: grenzwerte1.ggb

Applet 2 einblenden:

a_{n} = c \pm \frac{1}{n^{r}}

Zum Herunterladen: grenzwerte2.ggb

(b) Formuliere ausgehend von der Ergebnissen aus Aufgabenteil (a) den folgenden Satz.

Konstruktion konvergenter Folgen

Wenn $(h_{n})$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = c + h_{n}$ den Grenzwert ....

Wenn $(h_{n})$ eine Nullfolge ist und $c$ eine beliebige reelle Zahl, dann hat die Folge $(a_{n})$ mit $a_{n} = c - h_{n}$ den Grenzwert ....

(c) Nutze die Inhalte dieses und des vorangegangenen Abschnitts, um den folgenden Wissensspeicher auszufüllen.

Aufgabe 5