Erarbeitung

Ein Verfahren entwickeln

Im Applet sind für zwei Funktionen Flächenstücke vorgegeben, die ins Unendliche reichen. Gesucht ist jeweils der Flächeninhalt $A$ dieser unendlich langen Flächenstücke. Bearbeite für beide Funktionen die Aufgabe unter dem Applet.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral2.ggb

Aufgabe 1

(a) Im Applet wird der Inhalt der Fläche unter dem betrachteten Funktionsgraph im Intervall $[1; b]$ angezeigt. Die Grenze $b$ kann man variieren – aber leider nur bis $b = 7$. Wähle selbst einen großen $b$-Wert und bestimme den Flächeninhalt $A_{[1;b]}$. Formuliere eine Vermutung zum gesuchten Flächeninhalt $A$.

(b) Entwickle eine Formel für $A_{[1;b]}$. Verwende die Formel, um den gesuchten Flächeninhalt $A$ zu bestimmen.

🔑 Zur Kontrolle

Funktion: $f$

Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ erhält man:

$A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} f(x) \; dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = -\frac{1}{b} + 1$

Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man:

$A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = 0+1 = 1$

Funktion: $g$

Mit der Stammfunktion $F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ zur Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}}$ erhält man:

$A_{[1;b]} = \int\limits_{1}^{b} g(x) \; dx = \left[ 2 \sqrt{x} \right]_1^b = 2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{1} = 2 \sqrt{b} - 2$

Wenn man $b$ gegen Unendlich streben lässt, erhält man:

$A = \lim\limits_{b \rightarrow \infty}{A_{[1;b]}} = \infty$

Uneigentliche Integrale betrachten

Zur Bestimmung des Inhalts von Flächenstücken, die ins Unendliche reichen, haben wir Grenzwerte von Integralwerten gebildet.

$\int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \; dx = \lim\limits_{b \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$

Wenn ein solcher Grenzwert existiert, dann nennt man diesen Grenzwert uneigentliches Integral (zum Intervall $[a;+\infty[$).

Aufgabe 2

Benutze ein uneigentliches Integral, um den Inhalt des Flächenstücks, das nach links ins (Minus-) Unendliche reicht, zu bestimmen.

Zum Herunterladen: uneigentlichesintegral3.ggb