Vertiefung
Zur Orientierung
Der Hauptsatz besagt, dass die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ die ursprüngliche Randfunktion $f$ ergibt, sofern die Randfunktion keine Sprungstellen hat. Bisher wurde dieser Zusammenhang nur anhand von Beispielen überprüft und mit Hilfe inhaltlicher und geometrischer Betrachtungen plausibel gemacht. In diesem Abschnitt werden wir den Satz beweisen. Der Beweis zeigt zum einen, dass der Zusammenhang tatsächlich gilt. Zum anderen macht er deutlich, warum der Zusammenhang besteht.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Dann ist die Integralfunktion $I_a$ für alle $x$ aus dem Intervall $a \le x \le b$ differenzierbar und es gilt:
$I_a'(x) = f(x)$
Also: Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Den Hauptsatz verstehen und beweisen
Der Hauptsatz verbindet die fundamentalen Konzepte Ableitung und Integral. Das folgende Applet verdeutlich die mathematischen Argumentationen zum Beweis. Ableitungsaspekte werden dabei im oberen Fenster verdeutlicht, Integralaspekte im unteren Fenster. Mache dich mit dem Applet vertraut und bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Anleitung für das Applet
Zum Herunterladen: hauptsatz5.ggb
Schritt 1: den zu beweisenden Zusammenhang klären
Aufgabe 1
(a) Mache dir zunächst die logische Struktur des zu beweisenden Zusammenhangs klar.
- Vorausgesetzt wird, dass die Randfunktion $f$ keine Sprungstellen hat (bzw. stetig ist).
- Behauptet wird, dass die Integralfunktion $I_a$ für alle $x$ aus dem Intervall $a \le x \le b$ differenzierbar ist und dass $I_a'(x) = f(x)$ gilt.
(b) Verdeutliche im Applet im oberen Fenster, was die Ableitung $I_a'(x)$ beschreibt.
- Die Ableitung $I_a'(x)$ erhält man als Grenzwert von Differenzenquotienten: $I_a'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$. Das ist aber nur dann möglich, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten existiert.
- Verdeutliche mit den Einblendmöglichkeiten im oberen Fenster, was der Differenzenquotient beschreibt: Der Differenzenquotient $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}$ beschreibt die mittlere Änderungsrate der Integralfunktion $I_a$ im Intervall von $x$ bis $x+h$. Geometrisch kann man diesen Differenzenquotient als Sekantensteigung deuten.
- Verdeutliche mit dem Schieberegler im oberen Fenster den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ und erläutere: Der Grenzwert $I_a'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Integralfunktion $I_a$ an der Stelle $x$, sofern er existiert. Geometrisch kann man diesen Grenzwert dann als Steigung von Graph $I_a$ an der Stelle $x$ bzw. als Steigung der Tangente an Graph $I_a$ an der Stelle $x$ deuten.
(c) Mache dir also nochmal inhaltlich klar, was zu beweisen ist:
- Die lokale Änderungsrate der Integralfunktion an der Stelle $x$ existiert und stimmt mit dem Funktionswert der Randfunktion an der Stelle $x$ überein. Dieser Zusammenhang besteht, sofern die Randfunktion keine Sprungstellen hat.
Schritt 2: Integrale inhaltlich deuten und abschätzen
Aufgabe 2
(a) Deute die Integralfunktionendifferenz $I_a(x+h)-I_a(x)$ geometrisch. Nutze hierzu die Einblendmöglichkeit [$I_a(x+h)-I_a(x)$] im unteren Fenster.
- $I_a(x)$ beschreibt den orientierten Flächeninhalt von Graph $f$ von $a$ bis $x$.
- $I_a(x+h)$ beschreibt den orientierten Flächeninhalt von Graph $f$ von $a$ bis $x+h$.
- Die Integralfunktionendifferenz $I_a(x+h)-I_a(x)$ beschreibt somit den orientierten Flächeninhalt von Graph $f$ von $x$ bis $x+h$.
(b) Wenn man das Kontrollkästchen [$I_a(x+h)-I_a(x)$] aktiviert, erscheinen zwei weitere Kontrollkästchen [min] und [Max]. Verdeutliche folgende Zusammenhänge.
- Wenn man [min] aktiviert, dann wird ein grün eingefärbtes Rechteck eingeblendet. Die Breite des Rechtecks wird durch $h$ festgelegt, die Höhe wird mit $f_m$ dargestellt. Die Zahl $f_m$ beschreibt den minimalen Funktionswert der Randfunktion $f$ im betrachteten Intervall von $x$ bis $x+h$.
- Wenn man [Max] aktiviert, dann wird ein orange eingefärbtes Rechteck eingeblendet. Die Breite des Rechtecks wird durch $h$ festgelegt, die Höhe wird mit $f_M$ dargestellt. Die Zahl $f_M$ beschreibt den maximalen Funktionswert der Randfunktion $f$ im betrachteten Intervall von $x$ bis $x+h$.
- Es ist nicht selbstverständlich, dass diese minimalen und maximalen Funktionswerte existieren. Das ist hier sichergestellt, da die Funktion in dem betrachteten Intervall $[x; x+h]$ keine Sprungstellen hat (bzw. stetig ist). Wir verzichten darauf, diesen Argumentationsschritt auch noch nachzuweisen.
(c) Verdeutliche und erkläre folgende Abschätzungen. Verwende hierzu auch die Einblendmöglichkeit [$(I_a(x+h)-I_a(x))/h$] im unteren Fenster.
-
Die Integralfunktionendifferenz $I_a(x+h)-I_a(x)$ lässt sich jetzt mit den orientierten Flächeninhalten der Rechtecke abschätzen:
$f_m \cdot h \le I_a(x+h)-I_a(x) \le f_M \cdot h$. -
Der Differenzenquotient $\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}$ lässt sich dann mit Hilfe des minimalen und maximalen Funktionswerts abschätzen:
$f_m \le \frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} \le f_M$.
Schritt 3: den Grenzprozess durchführen
Aufgabe 3
(a) Verdeutliche im unteren Fenster den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ mit dem Schieberegler [h] und begründe folgende Zusammenhänge.
- Für $h \rightarrow 0$ nähern sich $f_m$ und $f_M$ immer mehr an. Beachte, dass hier die Voraussetzung ins Spiel kommt, dass die Randfunktion $f$ keine Sprungstellen hat.
-
Für $h \rightarrow 0$ nähern sich $f_m$ und $f_M$ immer mehr dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ an. Es gilt also:
$\begin{array}{lccccc} & f_m & \le & \displaystyle{\frac{I_a(x_0+h) - I_a(x_0)}{h}} & \le & f_M \\ h \rightarrow 0 & \downarrow & & \downarrow && \downarrow \\ & f(x) & & I_a'(x) & & f(x) \end{array}$
(b) Mache dir klar, dass man jetzt folgenden Zusammenhang erschließen kann:
- $I_a'(x) = f(x)$.
