Überprüfung – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgabe 1
Hier kannst du überprüfen, ob du auch verstanden hast, was eine Integralfunktion bei einer Bestandsentwicklung beschreibt.
Die Funktion $f$ im Applet beschreibt die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes (z.B. die Entwicklung der Zuflussrate in einem Zufluss-Abfluss-System). Bearbeite die Aufgabenstellung unter dem Applet.
Zum Herunterladen: zuflussabflussdynamisch4a.ggb
Beurteile jeweils, ob die von A ... G getroffenen Aussagen wahr oder falsch sind. Gib hierzu jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) in das Eingabefeld ein. Du erhältst dann direkt eine Rückmeldung, ob deine Antwort stimmt.
| Aussage | w / f | |
|---|---|---|
| A | Die Integralfunktion $I_0(x) = \int\limits_{0}^{x} f$ beschreibt die Entwicklung der Gesamtänderung des Bestandes im Intervall von $0$ bis $x$. |
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| B | Den Bestandswert zum Zeitpunkt $x = 0$ kann man mit den vorgegebenen Informationen nicht angeben. |
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| C | Es gilt $I_0(0) = 80$. |
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| D | Der Bestand ändert sich im Zeitintervall von $0$ bis $4$ nicht. |
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| E | Die Integralfunktion $I_0$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x = 6$. |
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| F | Für die Integralfunktion $I_2$ gilt: $I_2(2) = 160$. |
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| G | Die Integralfunktion $I_6$ ist streng monoton fallend im betrachteten Bereich. |
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Benutze die Einblendmöglichkeiten im Kontroll-Applet, um zu begründen, warum die Aussagen wahr bzw. falsch sind.
Aufgabe 2
Hier kannst du überprüfen, ob du den Zusammenhang zwischen Integralfunktionen und Randfunktionen verstanden hast.
(b) Der Graph in der Abbildung ist der Graph der Randfunktion $f$.
Beurteile jeweils, ob die von A ... D getroffenen Aussagen wahr oder falsch sind. Gib hierzu jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) in das Eingabefeld ein. Du erhältst dann direkt eine Rückmeldung, ob deine Antwort stimmt. Mache dir auch nochmal klar, warum die Aussagen wahr bzw. falsch sind.
| Aussage | w / f | |
|---|---|---|
| A | Es gilt $I_{-1}(-1) = -1$. |
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| B | $I_{-1}$ hat an der $x = 0$ die Steigung $1$. |
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| C | $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Tiefpunkt. |
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| D | $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = 1$ eine Nullstelle. |
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(b) Der Graph in der Abbildung ist der Graph der Integralfunktion $I_{-1}$.
Beurteile jeweils, ob die von A ... D getroffenen Aussagen wahr oder falsch sind. Gib hierzu jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) in das Eingabefeld ein. Du erhältst dann direkt eine Rückmeldung, ob deine Antwort stimmt. Mache dir auch nochmal klar, warum die Aussagen wahr bzw. falsch sind.
| Aussage | w / f | |
|---|---|---|
| A | $f$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle. |
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| B | Es gilt $f(-1) \gt 0$. |
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| C | Graph $f$ verläuft im Intervall $0 \lt x \lt 1$ oberhalb der $x$-Achse. |
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| D | Graph $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Hochpunkt. |
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Aufgabe 3
Hier kannst du überprüfen, ob du Integralfunktionen zu einer Randfunktion bestimmen kannst..
Im Applet sind eine Randfunktion $f$ und eine untere Grenze $a$ vorgegeben.
Zum Herunterladen: hauptsatz7.ggb
Bestimme (mit einer geeigneten Stammfunktion) eine Funktionsgleichung für die Integralfunktion $I_a$ und gib sie im hierfür vorgesehenen Eingabefeld ein.
Aktiviere zur Kontrolle das Kontrollkästchen. Wenn die grauen Punkte alle auf Graph $I_a$ liegen, dann hast du die Integralfunktion korrekt bestimmt.
