Strukturierung – Integrationsregeln

Regeln für Integrationsintervalle

Regel	Beispiel
$\int\limits_a^a f(x) \; dx = 0$	$\int\limits_3^3 2x \; dx = \left[ x^2 \right]_3^3 = 9 - 9 = 0$
$\int\limits_a^b f(x) \; dx + \int\limits_b^c f(x) \; dx = \int\limits_a^c f(x) \; dx$
$\int\limits_b^a f(x) \; dx = -\int\limits_a^b f(x) \; dx$

Beachte: Die Regel $\int\limits_b^a f(x) \; dx = -\int\limits_b^a f(x) \; dx$ besagt, dass sich das Vorzeichen eines Integrals umkehrt, wenn die obere und die untere Integrationsgrenze miteinander vertauscht werden. Hieraus ergibt sich, dass man auch Integrale bestimmen kann, wenn die untere Grenze größer ist als die obere Grenze ist. Wie man solche Integrale dann geometrisch deutet, werden wir in einem weiteren Kapitel klären.

Aufgabe 1

(a) Verdeutliche die Regeln mit selbst gewählten Beispielen.

(b) Begründe die Regeln mit Hilfe der Integralformel $\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Regeln für Linearkombinationen von Randfunktionen

Regel	Beispiel
$\int\limits_a^b (u(x)+v(x)) \; dx = \int\limits_a^b u(x) \; dx + \int\limits_a^b v(x) \; dx$
$\int\limits_a^b c \cdot u(x) \; dx = c \cdot \int\limits_a^b u(x) \; dx$

Aufgabe 2

(a) Verdeutliche die Regeln mit selbst gewählten Beispielen.

(b) Begründe die Regeln mit Hilfe der Integralformel $\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ sowie Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen.

Regeln für symmetrische Randfunktionen

Regel	Beispiel
Wenn Graph $f$ symmetrisch zum Ursprung ist, dann gilt: $\int\limits_{-a}^a f(x) \; dx = 0$
Wenn Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, dann gilt: $\int\limits_{-a}^a f(x) \; dx = 2 \cdot \int\limits_{0}^a f(x) \; dx$

Aufgabe 3

(a) Verdeutliche die Regeln an selbst gewählten Beispielen.

(b) Verdeutliche die Regeln auch mit der geometrisch Deutung des Integrals.