Zusammenfassung - Integralfunktion
Grundidee und Präzisierung
Bei einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer Zahl $a$ kann man für jedes $x$ (sofern möglich) das Integral von $f$ zum Intervall von $a$ bis $x$ betrachten. Die Gesamtheit all dieser Integrale erfasst man mit einer neuen Funktion - der Integralfunktion $I_a$.
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Im Applet kannst du $x$ variieren. Das zugeordnete Integral $I_a(x)$ wird zum einen als orientierter Flächeninhalt zur Randfunktion verdeutlicht, zum anderen mit einem Punkt des Graphen der Integralfunktion.
Die Integralfunktion lässt sich somit wie folgt mathematisch beschreiben.
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Die Integralfunktion $I_a$ ordnet jedem $x$ das Integral von $f$ von $a$ bis $x$ zu - sofern dieses Integral existiert.
Orientierte Flächeninhalte
Beachte, dass wir bei Integralfunktionen auch den Fall zulassen, dass $x$ kleiner als $a$ ist.
Zum Herunterladen: integralfunktion7.ggb
Das Applet verdeutlicht, wie man in diesem Fall das Integral mit Hilfe orientierter Flächeninhalte deuten kann:
Betrachte den Fall, dass das gesamte Flächenstück zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $x$ oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegt. Wenn man von $a$ aus erst nach $x$ geht und dann weiter das Flächenstück umrandet, dann ergeben sich zwei Möglichkeiten: Wenn die Umrandung gegen den Uhrzeigersinn verläuft, dann wird die Fläche positiv gewertet, wenn die Umrandung im Uhrzeigersinn verläuft, dann wird die Fläche negativ gewertet.
Diese verallgemeinerte Sicht auf orientierte Flächeninhalte nutzt man bei der geometrischen Deutung von Integralfunktionen.
