Übungen – Berechnung von Integralen
Grundaufgaben
Aufgabe 1 – Integrale berechnen
Berechne die Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.
(a) $\int\limits_{1}^{3} \left( 2x \right) dx$
(b) $\int\limits_{0}^{3} \left( x^2 \right)$
(c) $\int\limits_{-2}^{-1} \left( -x \right) dx$
(d) $\int\limits_{-1}^{3} \left( 1 \right)$
(e) $\int\limits_{-2}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right)$
(f) $\int\limits_{-3}^{3} \left( -x^2 + 2 \right)$
(g) $\int\limits_{0}^{2} \left( -x^3 + 2x^2 \right) dx$
(h) $\int\limits_{-2}^{2} \left( \frac{5}{2}x^4 -3 x^2 \right) dx$
(i) $\int\limits_{-1}^{2} \left( x^4 - x + 1\right) dx$
Aufgabe 2 – Fehlersuche
Finde die Fehler in den Rechnungen und korrigiere sie:
(a) $\int\limits_{-2}^1 \left( 3x^2 \right) dx = \left[ x^3 \right]_{-2}^1 = 1^3 + (-2)^3 = 1 - 8 = -7$
(b) $\int\limits_{3}^1 \left( 4x \right) dx = \left[ 2x^2 \right]_{3}^1 = 2\cdot 3^2 - 2\cdot 1^1 = 18 - 2 = 16$
(c) $\int\limits_1^4 \left( 3x^2+4 \right) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_1^4 = 4^3 + 4 \cdot 3 - 1^3 + 4\cdot 1 = 64 + 12 - 1 + 4 = 79$
(d) $\int\limits_0^2 \left( x^4 \right) dx = \left[ 4x^3 \right]_0^2 = 4\cdot 2^3 - 4\cdot 0^3 = 32 - 0 = 32$
Aufgabe 3 – Paare finden
Quelle: LearningApps.
Vertiefende Aufgaben
Aufgabe 4 – Integrale ermitteln ohne zu rechnen
(a) Gegeben ist eine Stammfunktion $F$ von $f$. Man weiß, dass $f(2)=1$, $f(5)=3$, $F(2)=5$ und $F(5)=2$ gilt. Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{2}^5 f(x) dx$.
(b) Man weiß, dass $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ gilt. Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{-1}^1 f'(x) dx$.
(c) Man weiß, dass der Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$ so aussieht:
Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{0}^1 f(x) dx$.
Aufgabe 5 – Integrale ermitteln ohne zu rechnen
Die Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung $m = 0.5$.
Ermittle (nur mit Daten aus der Abbildung) Werte für $a$ und $b$ angeben, so dass $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = 1$ gilt.
Aufgabe 5 – Parameter bestimmen
(a) Bestimme $b$ so, dass $\int\limits_{0}^b 2x dx = 4$.
(b) Gibt es ein $a$ mit $\int\limits_{a}^{-1} 2x dx = 4$?
(c) Gesucht sind Funktionen $f$ mit $\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = 1$.
Aufgabe 6 – Ableitungsregeln benutzen
(a)
Geg.: $\int\limits_{0}^{5} f(x) dx = 10$ und $\int\limits_{0}^{2} f(x) dx = 4$
Ges.: $\int\limits_{2}^{5} f(x) dx$
(b)
Geg.: $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx = 5$
Ges.: $\int\limits_{1}^{4} (f(x)+2) dx$
(c)
Geg.: $\int\limits_{-2}^{3} f(x) dx = 3$
Ges.: $\int\limits_{-2}^{3} 2f(x) dx$
(d)
Geg.: $\int\limits_{-3}^{2} f(x) dx = 7$ und $\int\limits_{2}^{-1} f(x) dx = -2$
Ges.: $\int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx$
Anwendungen
Aufgabe 7 – Zufluss-Abfluss-System
Die Zuflussrate in einen Wasserbehälter kann näherungsweise mit einer Funktion $f$ beschrieben werden:
$f(t) = -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t$
Die Zeit $t$ wird dabei in Stunden ($h$) angegeben, die Zuflussrate im Kubikmeter pro Stunde ($m^3/h$).
(a) Deute zunächst die Entwicklung der Zuflussrate. Wie wird sich die Zuflussmenge entwickeln?
(b) Bestimme die Wassermenge im Wasserbehälter nach $8$ Stunden. Gehe dabei davon aus, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ bereits $40$ $m^3$ Wasser im Behälter sind.
Aufgabe 8 – freier Fall
Wir betrachten einen Stein, der im freien Fall nach unten fällt. Aus dem Physikunterricht kennst du die Formel $v(t) = 9.81 \frac{m}{s^2} \cdot t$ ($t$ in Sekunden und $v$ in $m$ pro $s$), mit der du die Geschwindigkeit bestimmen kannst.
(a) Nutze diese Formel und die Integralrechnung, um die gesamte Strecke $s(5)$ zu bestimmen, die der Stein innerhalb von fünf Sekunden nach unten fällt.
(b) Im Kapitel zur Differentialrechnung hast du die Faustformel $s(t) = 5t^2$ hergeleitet. Bestimme jetzt die exakte Formel mithilfe der Integralrechnung.
Aufgabe 9 – Aktienentwicklung
Eine Aktie wird zum Zeitpunkt $t = 0$ an die Börse gebracht. Der Kurs der Aktie ändert sich in den nächsten Wochen ständig. Die Entwicklung der Änderungsrate des Aktienkurses lässt sich grob mit folgender Funktion beschreiben:
$f(t) = -\frac{3}{32}t^2 + \frac{3}{4}t + 2$
Die Zeit $t$ wird dabei in Wochen angegeben, die Änderungsrate in € pro Woche.
(a) Deute die Entwicklung der Änderungsrate der Aktie. Kläre dabei, wann die Aktie ihren höchsten Wert hat.
(b) Berechne das Integral $\int\limits_{0}^{16} f(t) dt$ und deute das Ergebnis.
