Übungen – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Aufgabe 1

Ordne die Integralfunktion in der Übersicht den veranschaulichenden Applets zu.

Integralfunktion (Integralschreibweise)	Integralfunktion (Berechnungsterm)
$I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} -2 \; dt$ $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} 2 \; dt$ $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} 2 \; dt$ $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} -2 \; dt$ $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} -2 \; dt$ $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} 2 \; dt$	$-2x - 4$ $2x + 4$ $2x - 4$ $2x$ $-2x + 4$ $-2x$

Veranschaulichung	Integralfunktion (Integralschreibweise)	Integralfunktion (Berechnungsterm)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = x$.

(a) Betrachte die untere Grenze $a = 0$. Bestimme eine Funktionsgleichung für $I_0(x)$ mittels geometrischer Berechnungen. Überprüfe, ob die von dir ermittelte Funktionsgleichung die Hauptsatzbedingung $I_0'(x) = f(x)$ und die Ausgangsbedingung $I_0(0) = 0$ erfüllt.

(b) Betrachte die untere Grenze $a = 2$. Begründe geometrisch, dass $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$. Bestimme (mit dem Ergebnis aus (a)) eine Funktionsgleichung für $I_2(x)$. Überprüfe, ob die ermittelte Funktionsgleichung die Hauptsatzbedingung und die Ausgangsbedingung erfüllt.

Aufgabe 3

Betrachte die Randfunktion $f$ mit $f(x) = 3x^2 - 1$. Welcher Funktionsterm gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.

• A: $I_2(x) = 6x$
• B: $I_2(x) = x^3$
• C: $I_2(x) = x^3-x-6$
• D: $I_2(x) = x^3-x$

Aufgabe 4

Betrachte die Randfunktion $f$ mit folgendem Graph.

Welcher Funktionsgraph gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Graphen von vier Randfunktionen. In welchen Situationen hat Graph $I_0$ an der Stelle $x = 1$ die Steigung $1$? Begründe.

A	B	C	D

Aufgabe 6

Gegeben ist der Graph einer Integralfunktion $I_{-1}$.

Welche Eigenschaften hat Graph $f$? Begründe.

• A: $f$ hat an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle.
• B: $f$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle.
• C: Graph $f$ verläuft im Intervall $0 \lt x \lt 1$ oberhalb der $x$-Achse.
• D: Graph $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt.