Integralfunktion als Stammfunktion
Neue Zusammenhänge herstellen
Im den letzten Kapitel wurden folgende Zusammenhänge gezeigt:
Wenn man eine Integralfunktionen $I_a(x)$ zu einer Randfunktion $f(x)$ ableitet, dann erhält man die Randfunktion $f(x)$.
Wenn man eine Funktion $f$ aufleitet, erhält man eine Stammfunktion $F(x)$ zur Ausgangsfunktion $f(x)$. Alle weiteren Stammfunktionen unterscheiden sich von $F(x)$ nur durch eine additive Konstante.
Aufgabe 1
Begründe mit Hilfe der bereits bekannten Zusammenhänge die folgenden neuen Zusammenhänge:
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$, so ist $I_a(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$ und $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $f(x)$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.
Zusammenhänge ausnutzen
Wir nutzen die neuen Zusammenhänge, um Integralfunktionen zu bestimmen. Dabei wird das folgende Problem bearbeitet:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ und eine untere Grenze $a$.
Gesucht ist die Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$.
Aufgabe 2
(a) Rechne kurz nach, dass im Applet unten $F(x)$ wirklich eine Stammfunktion von $f(x)$ darstellt.
(b) Begründe, dass das voreingestellte $F(x)$ nicht die gesuchte Integralfunktion darstellt. Verschiebe dafür $x$ geeignet, um zu verdeutlichen, dass die im unteren Feld markierten Werte von $I_a(x)$ nicht zum Graph oben passen.
(c) Es gibt eine bestimmte Stelle $x$, für die $I_a(x)$ immer bekannt ist. Nutze diese Stelle, um die Zahl $c$ mit dem Schieberegler korrekt einzustellen. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du das Kontrollkästchen aktivierst.
Wie funktioniert das Applet?
Klicke erst einmal nicht auf das Kontrollkästchen „Integralfunktion $I_a(x)$“!
Lasse im Applet erst einmal $f(x)$ und $a$ unverändert und verschiebe nur die Stelle $x$ im unteren Fenster sowie den Schieberegler $c$ im oberen.
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion1.ggb
Aufgabe 3
Begründe den folgenden Zusammenhang. Benutze die Eigenschaft von Integralfunktionen, die du in Aufgabe 2c gefunden hast.
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$ und $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $f(x)$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
