Einstieg
Ein vertiefender Blick auf Bestandsrekonstruktionen
Im letzten Kapitel wurden Integralfunktionen eingeführt, um die Entwicklung von Beständen zu rekonstruieren. Wir vertiefen diese funktionale Sicht hier, indem wir Zusammenhänge zwischen Integralfunktionen (zur Beschreibung der Entwicklung eines Bestandes) und den zugehörigen Randfunktionen (zur Beschreibung der Entwicklung der Änderungsrate des Bestandes) untersuchen. Diese Zusammenhänge bilden die Basis für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung im nächsten Kapitel.
Regelung der Zuflussrate
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System. Für die folgenden Überlegungen ist es sinnvoll, wenn du dir unter dem Zufluss-Abfluss-System einen Wasserbehälter vorstellst, in den Wasser rein- und wieder rausfließen kann.
In dem hier betrachteten Zufluss-Abfluss-System kann man die Zuflussrate mit Ventilen regeln. Jede Änderung der Zuflussrate wirkt sich direkt auf die Füllmenge im Behälter aus.
Anleitung für das Applet
- Im unteren Fenster lässt sich die Zuflussrate regeln. Wenn man die Schaltfläche [$\vartriangleright$] drückt, beginnt der Zufluss-Abfluss-Prozess (mit einem kurzen Vorlauf). Während des Prozesses lässt sich die momentane Zuflussrate mit dem Regler $\color{#0000FF}\blacklozenge$ (blauen Punkt auf der Zuflussratenachse) dynamisch verändern. Im Koordinatensystem wird die Entwicklung der Zuflussrate mit blauen Punkten dargestellt. Mit der Schaltfläche [$\circ$]-Button lässt sich das System in den Ausgangszustand versetzen. Mit dem Schieberegler [$\color{#FF00aa}a$] kann man den Startzeitpunkt des Zufluss-Abluss-Prozesses festlegen.
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Im oberen Fenster wird der Gesamtzufluss des Behälters dargestellt.
Der Gesamtzufluss ist die Flüssigkeitsmenge, die – im Vergleich zum Startzeitpunkt $t = 0$ – im Behälter zu bzw. abgeflossen ist.
Dieser Gesamtzufluss wird zum einen mit einem „Füllstandsbalkens“ (mit
Nullmarke
), zum anderen mit den scharzen Punkten im daneben angeordneten Koordinatensystem angezeigt.
Zum Herunterladen: zuflussabflussdynamisch2.ggb
Aufgabe 1
Wie wirkt sich die Entwicklung der Zuflussrate auf die Entwicklung der Zuflussmenge aus? Nutze das Applet, um erste Erahrungen über diesen Zusammenhang zu sammeln.
Aufgabe 2
Mache dir klar, wie man den Zufluss-Abfluss-Prozess mit Hilfe von Funktionen erfassen kann.
- Im unteren Fenster wird der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ erzeugt. Diese Ausgangsfunktion $f$ beschreibt die Entwicklung der Zuflussrate.
- Im oberen Fenster wird passend zur Ausgangsfunktion $f$ der Graph einer Funktion $I_a$ erzeugt. Diese Funktion $I_a$ beschreibt die Entwicklung der Zuflussmenge.
- Die Zuflussmenge im Intervall von $a$ bis $x$ entspricht dem Integral von $f$ von $a$ bis $x$. Die Funktion $I_a$ ordnet also jedem $x \ge a$ das Integral von $f$ von $a$ bis $x$ zu. Bei der Funktion $I_a$ handelt es sich demnach um die Integralfunktion zur Randfunktion $f$ zur unteren Grenze $a$.
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitten geht es darum, systematischer Zusammenhänge zwischen einer Ausgangsfunktion $f$ (die die Entwicklung der Zuflussrate beschreibt) und der zugehörigen Integralfunktion $I_a$ (die die Entwicklung der Zuflussmenge ausgehend vom Startzeitpunkt $a$ beschreibt) herzustellen.
