Zusammenfassung - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Grundidee und Präzisierung
Die Integralfunktion $I_a$ entsteht aus einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer unteren Grenze $a$ durch Integralberechnungen (d.h. geometrisch mit Hilfe orientierter Flächeninhalte bzw. analytisch mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen).
Zwischen einer solchen Randfunktion $f$ und den zugehörigen Integralfunktionen $I_a$ gibt es einen fundamentalen Zusammenhang: Wenn man die Integralfunktionen $I_a$ ableitet, dann erhält man die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Das Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang anhand eines Beispiels.
Zum Herunterladen: integrieren4.ggb
Dieser fundamentale Zusammenhang stellt eine Verbindung her zwischen Integrieren (als zentrale Operation der Integralrechnung) und Ableiten bzw. Differenzieren (als zentrale Operation der Differentialrechnung). Er bildet den inhaltlichen Kern des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Wenn die Randfunktion keine Sprungstellen hat (man sagt auch: wenn sie stetig ist), dann gilt:
$I_a'(x) = f(x)$
Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Beachte, dass im Haupsatz eine Voraussetzung an die Randfunktion formuliert wird: Die Randfunktion $f$ darf keine Sprungstellen haben. Das folgende Beispiel zeigt: Wenn die Randfunktion eine Sprungstelle hat, dann entsteht an dieser Stelle bei der Integralfunktion eine Knickstelle. Die Integralfunktion hat an dieser Stelle dann keine eindeutig bestimmbare Steigung bzw. sie ist an dieser Stelle nicht differenzierbar. An solchen Stellen kann man daher den oben formulierten Zusammenhang nicht herstellen.
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