Erarbeitung

Ein Verfahren zur Integralberechnung entwickeln

Wir betrachten als Beispiel die im Applet vorgegebene Randfunktion (zur Beschreibung der Zuflussrate in einem Zufluss-Abfluss-System).

Zum Herunterladen: integral5.ggb

Aufgabe 1

Entwickle einen Plan, wie man das Integral berechnen kann. Benutze dein Wissen über Integralfunktionen.

Hilfestellung

Die Übersicht zeigt fundamentale Zusammenhänge zwischen Integralfunktionen und Randfunktionen.

Aufgabe 2

Bestimme das gesucht Integral mit der passenden Integralfunktion. Überprüfe im Applet oben, ob der rechnerisch ermittelte Integralwert mit dem experimentell bestimmten Grenzwert von Produktsummen übereinstimmt.

Zur Kontrolle

Zuerst wird eine Stammfunktion zur Randfunktion $f$ bestimmt: $F(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 4x^2$. Für diese Funktion $F$ gilt $F'(x) = f(x)$.

Es gilt $I_0(x) = F(x) - F(0) = (\underbrace{-\frac{1}{2}x^3 + 4x^2}_{F(x)}) - (\underbrace{0}_{F(0)}) = -\frac{1}{2}x^3 + 4x^2$.

Es gilt dann: $\int\limits_{0}^{10} f(x) dx = I_0(10) = -\frac{1}{2} \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 = -500 + 400 = 100$

Dieser Wert stimmt mit dem experimentell ermittelten Grenzwert von Produktsummen überein.

Aufgabe 3

Bestimme analog das Integral $\int\limits_{8}^{10} f(x) dx$ zur vorgegebenen Randfunktion mit der passenden Integralfunktion. Überprüfe im Applet oben, ob der rechnerisch ermittelte Integralwert mit dem experimentell bestimmten Grenzwert von Produktsummen übereinstimmt.