Zusammenfassung – Bestimmung von Stammfunktionen
Die Ausgangssituation
Stammfunktionen spielen eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Integralfunktionen. Die folgende Übersicht verdeutlicht die im letzten Kapitel hergeleiteten Zusammenhänge.
Integralfunktionen zu einer Randfunktion kann man durch Aufleiten
der Randfunktion bestimmen.
Integralfunktionen sind also Stammfunktionen der zugehörigen Randfunktionen.
Es ergibt sich somit die folgende Frage:
Wie bestimmt man Stammfunktionen zu vorgegebenen Funktionen?
Diese Frage klären wir hier für Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen.
Andere Funktionenklassen werden in den weiteren Kapiteln betrachtet.
Stammfunktionen von Potenzfunktionen
Stammfunktionen zu Potenzfunktionen bestimmt man, indem man die Ableitungsregel für Potenzfunktionen zum Aufleiten
verwendet.
Die Übersicht verdeutlicht das für natürliche Zahlen als Exponenten.
| Ableiten | Aufleiten |
|---|---|
| $\begin{array}{lll} f(x) = x^n \quad ; n \in\mathbb{N} & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = nx^{n-1} & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ f(x) = x^n \quad ; n \in\mathbb{N} & & \end{array}$ |
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für einige Potenzfunktionen der Gestalt $f(x) = x^n$ (mit natürlichen Zahlen $n$ als Exponenten).
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | $F(x) = x$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ |
| $f(x) = x^2$ | $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ |
| $f(x) = x^3$ | $F(x) = \frac{1}{4}x^4$ |
| $\dots$ |
Somit ergibt sich folgende Potenzregel zur Bestimmung von Stammfunktionen.
Stammfunktion einer Potenzfunktion
Ist $f$ eine Potenzfunktion der Gestalt $f(x) = x^n$ mit einer natürlichen Zahl $n\in\mathbb{N}$, dann ist $F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$ eine Stammfunktion von $f$.
Das Verfahren lässt sich direkt auf Potenzfunktionen mit Exponenten, die keine natürliche Zahlen sind, übertragen.
Beachte jedoch, dass man für $f(x) = x^{-1}$ keine Stammfunktion durch Aufleiten
mit der Potenzregel bestimmen kann.
| Ableiten | Aufleiten |
|---|---|
| $\begin{array}{lll} f(x) = x^r \quad ; r \in\mathbb{R} & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = rx^{r-1} & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = \frac{1}{r+1}x^{r+1} & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ f(x) = x^r \quad ; r \in\mathbb{R}, r \neq -1 & & \end{array}$ |
Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für einige Potenzfunktionen der Gestalt $f(x) = x^{-n}$ (mit natürlichen Zahlen $n$ als Exponenten).
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $\dots$ | |
| $f(x) = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ | $F(x) = \frac{1}{-3}x^{-3} = -\frac{1}{3x^3}$ |
| $f(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ | $F(x) = \frac{1}{-2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ |
| $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ | $F(x) = \frac{1}{-1}x^{-1} = -\frac{1}{x}$ |
| $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ | $F(x) = ?$ |
Die nächste Tabelle verdeutlicht exemplarisch das Aufleiten
von Potenzfunktionen der Gestalt $f(x) = x^{r}$, die
man meist mit Wurzelfunktionen darstellt.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ | $F(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ |
| $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ | $F(x) = 2 x^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{x}$ |
| $\dots$ |
Der folgende Satz fasst die Ergebnisse zusammen.
Stammfunktion einer Potenzfunktion
Ist $f$ eine Potenzfunktion der Gestalt $f(x) = x^r$ mit einer rationalen Zahl $r \neq -1$, dann ist $F(x) = \frac{1}{r+1}x^{r+1}$ eine Stammfunktion von $f$.
Summen- und Faktorregel für Stammfunktionen
Die Summenregel zum Ableiten lässt sich direkt auf das Aufleiten übertragen.
| Ableiten | Aufleiten |
|---|---|
| $\begin{array}{lll} f(x) = x^3 + x^5 & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = 3x^2 + 5x^4 & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{5}x^{5} & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ f(x) = x^3 + x^5 & & \end{array}$ |
| $\begin{array}{lll} f(x) = u(x) + v(x) & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = u'(x) + v'(x) & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = U(x) + V(x) & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} \quad ; U'(x) = u(x); V'(x) = v(x) \\ f(x) = u(x) + v(x) & & \end{array}$ |
Summenregel für Stammfunktionen
Betrachte eine Funktion $f$, die als Summe von zwei Teilfunktionen $u$ und $v$ dargestellt ist: $f(x) = u(x) + v(x)$. Ist $U$ eine Stammfunktion von $u$ und $V$ eine Stammfunktion von $v$, dann ist $F(x) = U(x) + V(x)$ eine Stammfunktion von $f$.
Entsprechend kann man die Faktorregel zum Ableiten auf das Aufleiten übertragen.
| Ableiten | Aufleiten |
|---|---|
| $\begin{array}{lll} f(x) = 2x^4 & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = 8x^3 & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = \frac{2}{5}x^{5} & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} & \\ f(x) = 2x^4 & & \end{array}$ |
| $\begin{array}{lll} f(x) = c \cdot u(x) \quad ; c \in\mathbb{R} & & \\ \downarrow \text{Ableiten} & \\ f'(x) = c \cdot u'(x) & & \end{array}$ | $\begin{array}{lll} F(x) = c \cdot U(x) & & \\ \uparrow \text{Aufleiten} \quad ; U'(x) = u(x) \\ f(x) = c \cdot u(x) \quad ; c \in\mathbb{R} & & \end{array}$ |
Faktorregel für Stammfunktionen
Betrachte eine Funktion $f$, die als Produkt aus einer Zahl $c$ und einer Teilfunktion $u$ dargestellt ist: $f(x) = c \cdot u(x)$. Ist $U$ eine Stammfunktion von $u$, dann ist $F(x) = c \cdot U(x)$ eine Stammfunktion von $f$.
