Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen
Von der Integralfunktion zur Integralberechnung
Die folgende Übersicht zeigt, wie man Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnet.
Folgende Überlegungen sind hier kompakt dargestellt:
- Ausgangspunkt ist die Darstellung der Integralfunktion $I_a$ mit Hilfe einer Stammfunktionen $F$ zur betrachteten Randfunktion: $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
- Durch Einstetzen einer oberen Grenze $b$ in die Integralfunktion erhält man: $I_a(b) = F(b) - F(a)$.
- Mit der Integralschreibweise lässt sich der Zusammenhang so darstellen: $\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
- Für die Stammfunktionendifferenz $F(b) - F(a)$ nutzt man folgende Klammerschreibweise: $F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b$.
- Insgesamt erhält man diese Formel zur Integralberechnung mit einer Stammfunktion: $\int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b$.
Wir fassen das Ergebnis in einem Satz zusammen.
Integralberechnung mit einer Stammfunktion
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich ein Integral zur Randfunktion $f$ wie folgt berechnen:
$\int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
Beispiel
Rechnung: $\int\limits_1^3 \underbrace{(x+1)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{\frac{1}{2}x^2+x}_{F(x)} \right]_1^3 = (\underbrace{\frac{1}{2}3^2+3}_{F(3)}) - (\underbrace{\frac{1}{2}1^2+1}_{F(1)}) = 6$
