Übungen – Bestimmung von Stammfunktionen
Aufgabe 1
(a) Erstelle ein Pfeildiagramm zu diesen Funktionen. Ein Pfeil von einer Funktionsgleichung $g(x)$ zu einer anderen Funktionsgleichung $h(x)$ soll bedeuten, dass $g$ Stammfunktion von $h$ ist.
- $f_1(x) = x^2-2x$
- $f_2(x) = -2x$
- $f_3(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2$
- $f_4(x) = (x-1)^2$
- $f_5(x) = 2x$
- $f_6(x) = 2$
- $f_7(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2-1$
- $f_8(x) = -x(x-2)$
(b) Verbinde Graphen mit Pfeilen. Ein Pfeil von Graph $g$ zu Graph $h$ soll bedeuten, dass $g$ Stammfunktion von $h$ ist.
(c) Ordne den Funktionsgraphen aus (b) die passenden Funktionsgleichungen aus (a) zu. Vergleiche die beiden Pfeildiagramme aus (a) und (b). Kontrolliere auf diese Weise selbst deine Ergebnisse
Aufgabe 2
In der Tabelle sind die Ausgangsfunktionen vorgegeben. Bestimme jeweils eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion. Kontrolliere, indem du die Ableitungsfunktion zur Stammfunktion bestimmst.
| Ausgangsfunktion: $f$ | Stammfunktion: $F$ | zur Kontrolle: $F'$ | |
|---|---|---|---|
| (a) | $f(x) = x^3$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (b) | $f(x) = x^6$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (c) | $f(x) = x$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (d) | $f(x) = 4$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (e) | $f(x) = 4x$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (f) | $f(x) = 2x-1$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (g) | $f(x) = -3x^2$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (h) | $f(x) = 2x^3 - 3x^2$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (i) | $f(x) = -x^5 + 4x^2 - x$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (j) | $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{2}{3}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (k) | $f(x) = 2.5x^4 - 1.6x^3 + 7.2x$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (l) | $f(x) = x^{n-1}$ mit $n\in \{1, 2, 3, \dots\}$ | $\dots $ | $\dots $ |
Aufgabe 3
Mit Hilfe von Stammfunktionen kann man Integralfunktionen bestimmen. Verdeutliche das an folgendem Beispiel.
Gegeben ist die Randfunktion f mit $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$. Gesucht sind Funktionsgleichungen für die Integralfunktionen $I_0$ und $I_{-1}$.
Kontrolliere deine Ergebnisse im Applet.
Zum Herunterladen: integralfunktionen.ggb
Aufgabe 4
In der Tabelle sind die Ausgangsfunktionen vorgegeben. Bestimme jeweils eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion. Kontrolliere, indem du die Ableitungsfunktion zur Stammfunktion bestimmst.
| Ausgangsfunktion: $f$ | Stammfunktion: $F$ | zur Kontrolle: $F'$ | |
|---|---|---|---|
| (a) | $f(x) = x^{-3}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (b) | $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (c) | $f(x) = -\frac{2}{x^3}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (d) | $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (e) | $f(x) = x^{2.5}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (f) | $f(x) = x^{-2.5}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (g) | $f(x) = \sqrt{x^3}$ | $\dots $ | $\dots $ |
| (h) | $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ | $\dots $ | $\dots $ |
Aufgabe 5
Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Ergebnisse.
A: Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist auch $G$ mit $G(x) = F(x) - 1$ eine Stammfunktion von $f$.
B: Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0$ hat keine Stammfunktionen.
C: Es gibt eine Funktion $f$, die genau eine Stammfunktion hat.
D: Wenn $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, so ist $F-G$ eine Stammfunktion der Nullfunktion $h$ mit $h(x) = 0$.
Aufgabe 6
Mit Hilfe von Integralen kann man Stammfunktionen bestimmen. Untersuche hierzu das folgendem Beispiel.
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$. Wir betrachten nur den Bereich $1 \le x \lt \infty$.
(a) Erläutere, dass man für diese Randfunktion die Potenzregel für Stammfunktionen nicht anwenden kann.
(b) Betrachte den Bereich $1 \le x \lt \infty$. Begründe, dass die Integralfunmktion $I_1$ eine Stammfunktion zur Randfunktion $f$ im betrachteten Bereich ist.
(c) Bestimme mit dem folgenden Applet (näherungsweise) Funktionswerte für die Integralfunktion $I_1$.
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| $I_1(x)$ |
Zum Herunterladen: stammfunktion1durchx.ggb
