Vertiefung
Zur Orientierung
Wir beschreiben hier verallgemeinerd das im letzten Abschnitt entwickelte Verfahren zur Integralberechnung.
Das Verfahren zur Integralberechnung beschreiben
Ausgangspunkt ist die Übersicht zum fundamentalen Zusammenhang zwischen Integral- und Randfunktionen.
Im letzten Abschnitt hast du folgende Strategie bei der Berechnung von Integralen benutzt.
- Integrale kann man als Funktionswerte von Integralfunktionen bestimmen: $I_a(b) = \int\limits_a^b f(x) dx$
- Integralfunktionen kann man mit Hilfe von Stammfunktionen bestimmen: $I_a(x) = F(x) - F(a)$
Aufgabe 1
Ergänze den Satz zur Integralberechnung mit einer Stammfunktion.
Integralberechnung mit einer Stammfunktion
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich ein Integral zur Randfunktion $f$ wie folgt berechnen:
$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \dots$.
Eine neue Schreibweise für Integralberechnungen einführen (Vertiefung)
Bei der Integralberechnung mit Stammfunktionen bildet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Inegrationsgrenzen. Das folgende Beispiel zeigt, wie man solche Stammfunktionsdifferenzen mit einer Klammerschreibweise darstellt.
Beispiel: Klammerschreibweise für Stammfunktionendifferenzen
$\int\limits_{0}^{10} \underbrace{\left( -\frac{3}{2}x^2 + 8x \right)}_{f(x)} \; dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{2}x^3 + 4x^2}_{F(x)} \right]_{0}^{10} = \left( \underbrace{-\frac{1}{2} \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2}_{F(10)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{2} \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2}_{F(0)} \right) = 100 - 0 = 100$
Beachte die unterschiedliche Bedeutung der Klammern: Die eckige Klammer mit den beiden Zahlen an der rechten Klammer steht für eine Differenzbildung. Die runden Klammern werden benutzt, um algebraische Einheiten zu bilden.
Mit der Klammerschreibweise lässt sich der Satz zur Integralberechnung mit einer Stammfunktion auch so formulieren:
Integralberechnung mit einer Stammfunktion
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich ein Integral zur Randfunktion $f$ wie folgt berechnen:
$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$
Aufgabe 2
Schreibe die Integralberechnung zum Integral $\int\limits_{8}^{10} f(x) dx$ übersichtlich auf. Verwende dabei die Klammerschreibweise.
