o-mathe | Strukturierung - Grenzverhalten

Einstieg

Beobachtungen zum Grenzverhalten beim Tablet-Sharing-System

Hier noch einmal die Daten zum Tablet-Sharing-System aus dem letzten Kapitel.

Sharing-System: Beschreibung des Austauschprozesses

Übergangsgraph

Übergangstabelle

Prozessmatrix

	von A	von B	von C
zu A	$0.8$	$0.1$	$0.3$
zu B	$0.1$	$0.7$	$0.1$
zu C	$0.1$	$0.2$	$0.6$

P = (\begin{matrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{matrix})

Die Experimente im letzten Kapitel haben u.a. gezeigt, dass man bei diesem Austauschprozess eine stabile Grenzverteilung erhält. Die folgende Tabelle verdeutlicht das anhand einer vorgegebenen Ausgangsverteilung.

Sharing-System: Simulation des Austauschprozesses

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{matrix})$ (Ausgangsverteilung)
$1$	${\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{matrix})$
$2$	${\vec{v}}_{2} = P \cdot {\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{matrix})$
...	...
$n$	${\vec{v}}_{n} = P \cdot {\vec{v}}_{n - 1}$ für $n \geq 1$
...	...
$↓$
$\infty$	${\vec{v}}_{\infty} = (\begin{matrix} 150 \\ 75 \\ 75 \end{matrix})$ (Grenzverteilung)

Die stabile Grenzverteilung erhält man sogar ausgehend von einer beliebigen Ausgangsverteilung.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$
$↓$
$\infty$	${\vec{v}}_{\infty} = (\begin{matrix} 0.5 \cdot (a + b + c) \\ 0.25 \cdot (a + b + c) \\ 0.25 \cdot (a + b + c) \end{matrix}) = (a + b + c) \cdot (\begin{matrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{matrix})$

Wenn die Ausgangsverteilung relative Häufigkeiten angibt, dann erhält man folgende Grenzverteilung.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ mit $a + b + c = 1$
$↓$
$\infty$	${\vec{v}}_{\infty} = (\begin{matrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{matrix})$

Aufgabe 1

Erkläre die Ergebnisse in den tabellarischen Übersichten.

Zielsetzung

Ziel ist es, weitere Zusammenhänge für Grenzverteilungen bei Austauschprozessen herzustellen.

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