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Überprüfung - Grenzverhalten von Austauschprozessen

Aufgabe 1

Ein Übergangsprozess wird mit diesen Daten beschrieben:

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Verteilungsvektor
	$P = (\begin{matrix} 0.5 & 0 & 0.2 \\ 0.1 & 1 & 0.2 \\ 0.4 & 0 & 0.6 \end{matrix})$	${\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 50 \\ 10 \\ 40 \end{matrix})$

Teste dich selbst: Kannst du die folgenden Fragen klären?

(a) Was versteht man unter einer Grenzverteilung ${\vec{v}}_{\infty}$ ?

Zur Kontrolle

Das ist die Verteilung, die man erhält, wenn die Verteilungsvektoren ${\vec{v}}_{n}$ sich mit wachsendem $n$ stabilisieren.

(b) Warum gilt z.B. für den Verteilungsvektor ${\vec{v}}_{3}$ nach drei Simultionsschritten ${\vec{v}}_{3} = P^{3} \cdot {\vec{v}}_{0}$ ?

Zur Kontrolle

${\vec{v}}_{3} = P \cdot {\vec{v}}_{2} = P \cdot (P \cdot {\vec{v}}_{1}) = P \cdot (P \cdot (P \cdot {\vec{v}}_{0})) = (P \cdot P \cdot P) \cdot {\vec{v}}_{0} = P^{3} \cdot {\vec{v}}_{0}$

(c) Die Matrixpotenzen $P^{n}$ stabilisieren sich im vorliegenden Austauschprozess bei der Grenzmatrix $P_{\infty} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ . Wie erhält man mit dieser Matrix die Grenzverteilung ${\vec{v}}_{\infty}$ ?

Zur Kontrolle

Es gilt: ${\vec{v}}_{\infty} = P_{\infty} \cdot {\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 50 \\ 20 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 100 \\ 0 \end{matrix})$ .

(d) Hätte man das Ergebnis ${\vec{v}}_{\infty} = (\begin{matrix} 0 \\ 100 \\ 0 \end{matrix})$ auch direkt anhand des Übergangsgraphen vorhersagen können?

Zur Kontrolle

Der Übergangsgraph zeigt, dass jeweils ein bestimmter Anteil der Objekte vom Zustand A bzw. C in den Zustand B wechseln. Alle in Zustand B angekommenen Objekte verbleiben in diesem Zustand. Im Laufe der Simulation sammeln sich also alle Objekte im Zustand

B

(e) Gibt es bei jedem Austauschprozess immer Grenzverteilungen?

Zur Kontrolle

Nein. Z.B. führt die Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ für die Ausgangsverteilung ${\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ nicht zu einer stabilen Grenzverteilung.

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