Vertiefung

Austauschprozesse mit Matrizen beschreiben

Die Übergangstabelle bei einem Austauschprozess beschreibt man meist mit Hilfe einer Matrix, die Prozessmatrix (oder Übergangsmatrix) genannt wird.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$	$P=\left(\begin{array}{ccc}0.8& 0.1& 0.3\\ 0.1& 0.7& 0.1\\ 0.1& 0.2& 0.6\end{array}\right)$

Die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess muss bestimmte Bedingungen erfüllen. Sie muss eine stochastische Matrix sein.

Aufgabe 1

Erkläre, warum die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess eine stochastische Matrix ist.

Objektverteilungen mit Vektoren beschreiben

Die jeweilige Aufteilung eines Objektbestandes in die Zustände beschreibt man bei Austauschprozessen mit Verteilungsvektoren.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	absoluter Veteilungsvektor	relativer Veteilungsvektor
	$P=\left(\begin{array}{ccc}0.8& 0.1& 0.3\\ 0.1& 0.7& 0.1\\ 0.1& 0.2& 0.6\end{array}\right)$	$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$	$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1/3\\ 1/3\\ 1/3\end{array}\right)$

Aufgabe 2

Kläre folgende Fragen:

Was beschreiben die Elemente eines (absoluten bzw. relativen) Verteilungsvektors?

Wie erhält man die Gesamtanzahl der betrachteten Objekte bei einem absoluten Verteilungsvektors? Warum kommt der Nullvektor nicht als absoluter Verteilungsvektor in Betracht?

Warum muss die Summe der Elemente bei einem relativen Verteilungsvektors die Zahl $1$ ergeben??

Die Ausführung von Austauschprozessen mit dem Matrix-Vektor-Produkt beschreiben

Bei der Ausführung eines Austauschprozesses werden ausgehend von einer Ausgangsverteilung in jedem Schritt die neuen Verteilungen der Objekte auf die Zustände bestimmt. Im Tablet-Sharing-System erhält man folgende Werte:

Schritte	A	B	C
$0$	$100$	$100$	$100$
$1$	$120=0.8\cdot 100+0.1\cdot 100+0.3\cdot 100$	$90=\dots$	$90=\dots$
$2$	$132=\dots$	$84=\dots$	$84=\dots$
$3$	$139.2=\dots$	$80.4=\dots$	$80.4=\dots$
...	...	...	...

Diese Berechnungen kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen.

Schritte	Verteilungsvektor	Berechnung
$0$	${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$
$1$	${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}120\\ 90\\ 90\end{array}\right)$	${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{ccc}0.8& 0.1& 0.3\\ 0.1& 0.7& 0.1\\ 0.1& 0.2& 0.6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$
$2$	${\overrightarrow{v}}_2=\left(\begin{array}{c}132\\ 84\\ 84\end{array}\right)$	${\overrightarrow{v}}_2=\cdots$
...	...	...
$n$	${\overrightarrow{v}}_n=\cdots$	${\overrightarrow{v}}_n=\cdots$

Aufgabe 3

(a) Ergänze in der Tabelle die mit $\cdots$ markierten Teile.

(b) Ergänze entsprechend die mit $\cdots$ markierten Teile im folgenden Satz.