Übungen - Stabile Verteilungen

Aufgabe 1

Überprüfe jeweils, ob $\overrightarrow{v}$ ein stabiler Verteilungsvektor zur Prozessmatrix $P$ ist.

Aufgabe 2

(a) Betrachte die Einheitsmatrix als Prozessmatrix – also $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Begründe: Jeder Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}$ ist ein stabiler Verteilungsvektor zu dieser Prozessmatrix $P$.

(b) Betrachte die Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Begründe: Nur Verteilungsvektoren $\overrightarrow{v}=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ mit gleicher Objekthäufigkeit für die Zustände sind stabile Verteilungsvektoren zu dieser Prozessmatrix $P$.

(c) Untersuche, ob es analoge Ergebnisse für die Prozessmatrizen $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ und $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ gibt.

Aufgabe 3

(a) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5& 0\\ 0.5& 0& 0.5\end{array}\right)$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.

(b) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0.2& 0.2\\ 0.2& 0.8& 0\\ 0.8& 0& 0.8\end{array}\right)$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.

Aufgabe 4

Betrachte den folgenden Migrationsprozess. Das Simulationstool ProSiTo zeigt u.a. die Prozessmatrix $P$ zu diesem Prozess.

Bestimme die stabilen Verteilungen (absolut und relativ) zu diesem Austauschprozess.

Aufgabe 5

Ein E-Roller-Verleih hat mehrere Ausleih- und Rückgabestationen. In der Vergangenheit konnte pro Tag folgendes Wechselverhalten festgestellt werden:

(a) Gib die Bedeutung der Zahl $0.3$ an.

(b) Stelle das Wechselverhalten in einem Übergangsgraph dar.

(c) Zu Beginn der neuen Beobachtungswoche sind an allen Stationen 100 E-Roller platziert. Zeige, dass sich die Verteilung nach einer Woche nicht mehr ändert.

(d) Gib den Fixvektor an.

Aufgabe 6

Betrachte Austauschprozesse mit genau zwei Zuständen, die mit einer Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)$ beschrieben werden können. Die Parameter $a$ und $b$ stehen hier für reelle Zahlen mit $0\text{ < }a,b\text{ < }1$.

Mit dem folgenden GeoGebra-Applet kann man herausfinden, dass es für solche Austauschprozesse stabile Verteilungen gibt.

Zum Herunterladen: matrixpotenzen2.ggb

(a) Betrachte als Beispiel die Parameterwerte $a=0.6$ und $b=0.8$. Bestimme mit dem Applet eine stabile Verteilung beginnend mit der Ausgangsverteilung $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0.75\\ 0.75\end{array}\right)$.

(b) Bestimme für die Parameterwerte $a=0.6$ und $b=0.8$ rechnerisch die stabilen Verteilungen zur Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)$. Stelle hierzu eine Vektorgleichung auf und löse das zugehörige lineare Gleichungssystem.

(c) Zeige ganz allgemein, dass $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1-b\\ 1-a\end{array}\right)$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)$ ist. Berechne hierzu:

$\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1-b\\ 1-a\end{array}\right)=\dots$

(d) Leite allgemein her, dass jedes Vielfache von $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1-b\\ 1-a\end{array}\right)$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P=\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)$ ist. Bestimme hierzu die Lösungen der folgenden Vektorgleichung.

$\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$