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Übungen - Stabile Verteilungen

Aufgabe 1

Überprüfe jeweils, ob $\vec{v}$ ein stabiler Verteilungsvektor zur Prozessmatrix $P$ ist.

Prozessmatrix	Verteilungsvektor	Rechnung	stabil? (j/n)
$P = (\begin{matrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.5 & 0.8 \end{matrix})$	$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$	$P \cdot \vec{v} = \dots$	...
$P = (\begin{matrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.5 & 0.8 \end{matrix})$	$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 / 7 \\ 5 / 7 \end{matrix})$	$P \cdot \vec{v} = \dots$	...
$P = (\begin{matrix} 0 & 0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \end{matrix})$	$\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$	$P \cdot \vec{v} = \dots$	...
$P = (\begin{matrix} 0 & 0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \end{matrix})$	$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$	$P \cdot \vec{v} = \dots$	...
$P = (\begin{matrix} 0 & 0.5 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.25 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 & 1 \end{matrix})$	$\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$	$P \cdot \vec{v} = \dots$	...

Aufgabe 2

(a) Betrachte die Einheitsmatrix als Prozessmatrix – also $P = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Begründe: Jeder Verteilungsvektor $\vec{v}$ ist ein stabiler Verteilungsvektor zu dieser Prozessmatrix $P$ .

(b) Betrachte die Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ .

Begründe: Nur Verteilungsvektoren $\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ mit gleicher Objekthäufigkeit für die Zustände sind stabile Verteilungsvektoren zu dieser Prozessmatrix $P$ .

(c) Untersuche, ob es analoge Ergebnisse für die Prozessmatrizen $P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ und $P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ gibt.

Aufgabe 3

(a) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \end{matrix})$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.

(b) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0 & 0.2 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 & 0 \\ 0.8 & 0 & 0.8 \end{matrix})$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.

Aufgabe 4

Betrachte den folgenden Migrationsprozess. Das Simulationstool ProSiTo zeigt u.a. die Prozessmatrix $P$ zu diesem Prozess.

Prozessmatrix

\begin{pmatrix}{0{.}2} & {0{.}2} & {0} & {0{.}1}\\{0{.}4} & {0{.}6} & {0{.}3} & {0}\\{0} & {0{.}2} & {0{.}4} & {0{.}1}\\{0{.}4} & {0} & {0{.}3} & {0{.}8}\\\end{pmatrix}

Bestimme die stabilen Verteilungen (absolut und relativ) zu diesem Austauschprozess.

Aufgabe 5

Betrachte Austauschprozesse mit genau zwei Zuständen, die mit einer Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix})$ beschrieben werden können. Die Parameter $a$ und $b$ stehen hier für reelle Zahlen mit $0 < a, b < 1$ .

Mit dem folgenden GeoGebra-Applet kann man herausfinden, dass es für solche Austauschprozesse stabile Verteilungen gibt.

Zum Herunterladen: matrixpotenzen2.ggb

(a) Betrachte als Beispiel die Parameterwerte $a = 0.6$ und $b = 0.8$ . Bestimme mit dem Applet eine stabile Verteilung beginnend mit der Ausgangsverteilung $\vec{v} = (\begin{matrix} 0.75 \\ 0.75 \end{matrix})$ .

(b) Bestimme für die Parameterwerte $a = 0.6$ und $b = 0.8$ rechnerisch die stabilen Verteilungen zur Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix})$ . Stelle hierzu eine Vektorgleichung auf und löse das zugehörige lineare Gleichungssystem.

Tipp

Bestimme alle Lösungen der folgenden Vektorgleichung:

$(\begin{matrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.4 & 0.8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Kontrolle

${\vec{v}}_{\infty} = r \cdot (\begin{matrix} 0.5 \\ 1 \end{matrix})$

(c) Zeige ganz allgemein, dass $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 - b \\ 1 - a \end{matrix})$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix})$ ist. Berechne hierzu:

$(\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 - b \\ 1 - a \end{matrix}) = \dots$

(d) Leite allgemein her, dass jedes Vielfache von $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 - b \\ 1 - a \end{matrix})$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix})$ ist. Bestimme hierzu die Lösungen der folgenden Vektorgleichung.

$(\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$