Erarbeitung

Für die Theoriebildung ist es günstig, die Fibonacci-Folge bei $a_0=0$ beginnen zu lassen. Wir betrachten also folgende Problemstellung:

Matrixmultiplikation zu Berechnung der Folgenglieder verwenden

Wir fassen jeweils $2$ Folgenglieder zu einem Fibonacci-Vektor zusammen:

${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$; ${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$; ${\overrightarrow{v}}_2=\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$; ${\overrightarrow{v}}_3=\left(\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$; ...

Also:

${\overrightarrow{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n+1}\end{array}\right)$ für $n=0,1,2,\dots$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass man die Fibonacci-Vektoren mit der Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ berechnen kann:

${\overrightarrow{v}}_1=A\cdot {\overrightarrow{v}}_0$; ${\overrightarrow{v}}_2=A\cdot {\overrightarrow{v}}_1$; ${\overrightarrow{v}}_3=A\cdot {\overrightarrow{v}}_2$; ..., ${\overrightarrow{v}}_{n+1}=A\cdot {\overrightarrow{v}}_n$

(b) Begründe mit (a):

${\overrightarrow{v}}_n=A^n\cdot {\overrightarrow{v}}_0$

Aufgabe 2

Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Wozu das gut ist, wird sich in den weiteren Aufgaben zeigen.

Zur Kontrolle

Eigenwerte: ${\lambda }_1=\frac{-\sqrt{5}+1}{2};{\lambda }_2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Eigenvektoren:
$\begin{array}{lllll}{\lambda }_1=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}& :& {\overrightarrow{w}}_1=r\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\\ 1\end{array}\right)& ;& r\ne 0\\ {\lambda }_2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}& :& {\overrightarrow{w}}_2=r\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ 1\end{array}\right)& ;& r\ne 0\end{array}$

Aufgabe 3

Betrachte die beiden folgenden Hilfsmatrizen $D$ und $T$:

$D=\left(\begin{array}{cc}\frac{-\sqrt{5}+1}{2}& 0\\ 0& \frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{array}\right)$

$T=\left(\begin{array}{cc}\frac{-\sqrt{5}-1}{2}& \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ 1& 1\end{array}\right)$

(a) Was fällt auf? Aus welchen Komponenten sind diese Hilfsmatrizen aufgebaut?

(b) Für die weiteren Berechnungen benötigt man auch die inverse Matrix $T^{-1}$:

$T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\end{array}\right)$

Für Rechenexperten: Vergewissere dich durch Nachrechnen, dass folgende Beziehung besteht:

$T\cdot T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-\sqrt{5}-1}{2}& \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

(c) Das ist jetzt wichtig für die weiteren Betrachtungen: Es gilt $T\cdot D\cdot T^{-1}=A$.

Für Rechenexperten: Vergewissere dich durch Nachrechnen, dass diese Beziehung tatsächlich besteht:

$T\cdot D\cdot T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-\sqrt{5}-1}{2}& \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\frac{-\sqrt{5}+1}{2}& 0\\ 0& \frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\end{array}\right)=\cdots =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=A$

Für die Berechnung kannst du alternativ ein Computeralgebrasystem benutzen. Gib in der nächsten Eingabezeile den Ausdruck $T\cdot D\cdot T^{-1}$ ein.

Aufgabe 4

Betrachte die beiden folgenden Hilfsmatrizen $D$ und $T$:

(a) Begründe:

$A^n=(T\cdot D\cdot T^{-1}{)}^n=T\cdot D^n\cdot T^{-1}$

(b) Begründe:

$D^n=\left(\begin{array}{cc}{\left[\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\right]}^n& 0\\ 0& {\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]}^n\end{array}\right)$

(c) Für ${\overrightarrow{v}}_n$ erhält man dann folgende Formel.

${\overrightarrow{v}}_n=A^n\cdot {\overrightarrow{v}}_0=(T\cdot D^n\cdot T^{-1})\cdot {\overrightarrow{v}}_0$

Zur Berechnung benutzen wir ein Computeralgebrasystem:

Das Computeralgebrasystem liefert folgendes Ergebnis:

${\overrightarrow{v}}_n=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{5}\sqrt{5}{(\frac{1}{2}(-\sqrt{5}+1))}^n+\frac{1}{5}\sqrt{5}{(\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1))}^n\\ \dots \end{array}\right)$

Wir betrachten nur die erste Komponente von ${\overrightarrow{v}}_n$. Zeige, dass man hieraus diese Formel durch Umformen herleiten kann:

${\overrightarrow{v}}_n=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]\\ \dots \end{array}\right)$

Aufgabe 5

Benutze jetzt den Zusammenhang zur Fibonacci-Folge:

${\overrightarrow{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n+1}\end{array}\right)$ für $n=0,1,2,\dots$

Vervollständige den Satz.