o-mathe | Strukturierung - Bestimmung von Eigenvektoren

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Im letzten Kapitel wurden Eigenvektoren beispielhaft für eine vorgegebene Matrix bestimmt. Hier noch einmal die betrachtete Matrix:

Geg.:
Matrix $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})$

Ges.:
Eigenvektoren der Matrix $A$

Die folgende Übersicht zeigt die wichtigsten Schritte bei der Bestimmung der Eigenwerte.

Eigenvektorgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = λ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$
zugehörigen Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 4 \cdot v_{1} & + & (3 - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 \cdot (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot 4 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & [(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4] \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
Eigenwertbedingung	$(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4 = 0$
Eigenwerte als Lösungen der Eigenwertbedingung	$λ = - 1$ ; $λ = 5$
Eigenvektoren zum Eigenwert $λ = - 1$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 8 \cdot v_{1} & + & 8 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 0 & = & 0 \end{array} \Rightarrow (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}); r \neq 0$
Eigenvektoren zum Eigenwert $λ = 5$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - 16 \cdot v_{1} & + & 8 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 0 & = & 0 \end{array} \Rightarrow (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 0.5 \\ 1 \end{matrix}); r \neq 0$

Aufgabe 1

Mache dich nochmal mit dem in der Übersicht gezeigten Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren vertraut. Erläutere hierzu die gezeigten Überlegungen.

Zielsetzung

Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren verallgemeinernd zu beschreiben.

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