o-mathe | Einstieg » Erarbeitung

Erarbeitung

Zur Orientierung

Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren verallgemeinernd zu beschreiben.

Die Eigenvektorgleichung umformen

Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $λ$ gibt, so dass folgende Eigenvektorgleichung erfüllt ist:

$A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}$

Aufgabe 1

Betrachte eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix $A$ mit $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ . Erläutere die folgenden Umformungsschritte der Eigenvektorgleichung.

Umformung der Eigenvektorgleichung	Erläuterungen
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = λ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$	Eigenvektorgleichung
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$	...
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} - λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	...
$[\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} - λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}}] \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	...
$\underset{A - λ \cdot E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a - λ & b \\ c & d - λ \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	...
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	...

Aufgabe 2

Begründe: Die Umformungsschritte in Aufgabe 1 gelten nicht nur für beliebige $2 \times 2$ -Matrizen $A$ . Es gilt folgender Zusammenhang für beliebige quadratische Matrizen.

Eigenvektorbedingung

Für eine beliebige quadratische Matrix $A$ gilt: Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $λ$ gibt, so dass die folgende Bedingung (mit der zu $A$ passenden Einheitsmatrix $E$ ) erfüllt ist:

$(A - λ \cdot E) \cdot \vec{v} = \vec{0}$

Das LGS zur Eigenwertgleichung umformen

Das LGS zur Eigenvektorgleichung kann man für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix genauso in Stufenform transformieren wie im Beispielfall. Für einige Umformungsschritte muss man allerdings weitere Voraussetzungen treffen.

Umformungen unter der Voraussetzung $c \neq 0$ und $a \neq λ$	Umformungen unter der Voraussetzung $b \neq 0$ und $d \neq λ$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[1] \leftarrow [1] \cdot c$ Vor.: $c \neq 0$	$[2] \leftarrow [2] \cdot b$ Vor.: $b \neq 0$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] \cdot (a - λ)$ Vor.: $(a - λ) \neq 0$	$[1] \leftarrow [1] \cdot (d - λ)$ Vor.: $(d - λ) \neq 0$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & (a - λ) \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot (d - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] + (- 1) \cdot [1]$	$[1] \leftarrow [1] + (- 1) \cdot [2]$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & [(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c] \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & [(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c] \cdot v_{1} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

Damit das LGS Lösungen mit $\vec{v} \neq \vec{0}$ hat (bzw. damit $A$ Eigenvektoren hat), muss die Bedingung $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ erfüllt sein. Das sieht man nicht direkt. Um das nachzuweisen, muss man eine ganze Reihe von Fällen durchspielen. Das wird in der folgenden Aufgabe geleistet.

Aufgabe 3

Die folgenden Aussagen kann man alle mit der Voraussetzung $\vec{v} \neq \vec{0}$ begründen. Begründe exemplarisch die Aussage in (a). Wenn du fit bist, dann begründe alle Aussagen.

(a) Wenn $c \neq 0$ und $a \neq λ$ gilt, dann muss $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ gelten.

Tipp

Gehe indirekt vor: Was wäre, wenn

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c \neq 0

gelten würde?

(b) Wenn $b \neq 0$ und $d \neq λ$ gilt, dann muss $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ gelten.

Tipp

Gehe indirekt vor: Was wäre, wenn

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c \neq 0

gelten würde?

(c) Wenn $a = λ$ (oder $d = λ$ ) gilt, dann muss $b \cdot c = 0$ und folglich $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ gelten.

Tipp

Beginne so: Wenn

a = λ

gilt, dann muss

b \cdot v_{2} = 0

gelten. ...

(d) Wenn $c = 0$ (oder $b = 0$ ) gilt, dann muss $a = λ$ oder $d = λ$ und folglich $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ gelten.

Tipp

Beginne so: Wenn

c =

gilt, dann muss

(d - λ) \cdot v_{2} = 0

gelten. ...

Eine Eigenwertbedingung verwenden

Die vorangehenden Überlegungen zeigen, dass die Eigenwerte einer Matrix die Gleichung $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ erfüllen müssen.

Eigenwertbedingung

Für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:

$(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$

Diese Gleichung nennt man auch charakteristischen Gleichung.

Aufgabe 4

Im Kapitel Inverse 2x2-Matrizen wurde die Determinate einer $2 \times 2$ -Matrix eingeführt:

Unter der Determinate einer $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ versteht man den Ausdruck $det (A) = a \cdot d - b \cdot c$ .

Begründe: Die Eigenwertbedingung kann man aus so formulieren:

Eigenwertbedingung

Für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:

$det (A - λ \cdot E) = 0$

Eigenvektoren mit Hilfe von Eigenwerten bestimmen

Ist $λ$ ein Eigenwert von $A$ , so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren durch Auflösen der Eigenvektorgleichung nach den Variablen $v_{1}$ und $v_{2}$ .

Für eine $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ muss man das folgende LGS nach den Variablen $v_{1}$ und $v_{2}$ auflösen.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

In der Übersicht sind die möglichen Fälle für eine $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ aufgelistet.

Bedingung	Auflösung nach einer Variablen	Eigenvektoren
$a \neq λ$	$[1] v_{1} = - \frac{b}{a - λ} \cdot v_{2}$ Einsetzen von $v_{1}$ in $[2]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} - \frac{b}{a - λ} \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$d \neq λ$	$[2] v_{2} = - \frac{c}{d - λ} \cdot v_{1}$ Einsetzen von $v_{2}$ in $[1]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{c}{d - λ} \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$c \neq 0$	$[1] v_{1} = - \frac{d - λ}{c} \cdot v_{2}$ Einsetzen von $v_{1}$ in $[2]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} - \frac{d - λ}{c} \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$b \neq 0$	$[2] v_{2} = - \frac{a - λ}{b} \cdot v_{1}$ Einsetzen von $v_{2}$ in $[1]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{a - λ}{b} \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$a = λ$ und $b = 0$ und $c = 0$		$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$d = λ$ und $b = 0$ und $c = 0$		$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$

Aufgabe 5

Begründe diese Lösungen. Begründe auch, dass es keine weiteren Fälle geben kann.

←Zurück Weiter→

Erarbeitung

Zur Orientierung

Die Eigenvektorgleichung umformen

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Eigenvektorbedingung

Das LGS zur Eigenwertgleichung umformen

Aufgabe 3

Eine Eigenwertbedingung verwenden

Eigenwertbedingung

Aufgabe 4

Eigenwertbedingung

Eigenvektoren mit Hilfe von Eigenwerten bestimmen

Aufgabe 5

Suche

Rückmeldung geben