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Erarbeitung

Zielsetzung

Wir betrachten hier das folgende Popualtionsentwicklungsmodell. Ziel ist es, das Verhalten der Population vorherzuagen.

Prozessmatrix

\begin{pmatrix}{0{.}8} & {4}\\{0{.}36} & {0{.}8}\\\end{pmatrix}

Verteilungsvektor

\begin{matrix}\text{A1} \\ \text{A2} \\ \end{matrix}\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ \end{pmatrix}

Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet oben vorgegebenen Daten zur Populationsentwicklung.

Geg.:
Prozessmatrix

P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})

Verteilungsvektor

{\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})

Ges.:
Formeln für

{\vec{v}}_{i}

(a) Zeige: Es gilt ${\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = 2 \cdot {\vec{v}}_{0}$ . Führe hierzu die folgende Berechnung aus.

${\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) = \dots$

(b) Was folgt hieraus? Gib jeweils passende Formeln an, in denen die Verteilungsvektoren als Vielfache dr Ausgangsverteilung dargestellt werden.

${\vec{v}}_{2} = P \cdot {\vec{v}}_{1} = \dots$

${\vec{v}}_{3} = P \cdot {\vec{v}}_{2} = \dots$

${\vec{v}}_{i} = \dots$

Zur Kontrolle

{\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = 2 \cdot {\vec{v}}_{0}

{\vec{v}}_{2} = P \cdot {\vec{v}}_{1} = P \cdot [2 \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2 \cdot [P \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2 \cdot [2 \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2^{2} \cdot {\vec{v}}_{0}

{\vec{v}}_{3} = P \cdot {\vec{v}}_{2} = P \cdot [2^{2} \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2^{2} \cdot [P \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2^{2} \cdot [2 \cdot {\vec{v}}_{0}] = 2^{3} \cdot {\vec{v}}_{0}

...

{\vec{v}}_{i} = 2^{i} \cdot {\vec{v}}_{0}

für

i = 1, 2, \dots

(c) Berechne ${\vec{v}}_{10}$ mit der Formel für ${\vec{v}}_{i}$ aus (b). Warum ist das jetzt so einfach? Kontrolliere dein Ergebnis im Applet oben.

(d) Begründe mit der Formel für ${\vec{v}}_{i}$ : Die Population wächst exponentiell.

(e) Begründe: Der in (b) beschriebene Zusammenhang gilt für $P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})$ und alle Verteilungsvektor der Gestalt ${\vec{v}}_{0} = r \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ mit einer beliebigen (positiven) reellen Zahl $r$ .

Aufgabe 2

Gilt der in Aufgabe 1 beschriebene Zusammenhang für die vorgegebene Prozessmatrix $P$ und beliebige Verteilungsvektoren? Betrachte hierzu einen exemplarisch gewählten Verteilungsvektor.

Geg.:
Prozessmatrix

P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})

Verteilungsvektor

{\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 20 \\ 10 \end{matrix})

Ges.:

{\vec{v}}_{1}

Berechne:

${\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 10 \end{matrix}) = \dots$

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