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Erarbeitung

Zur Orientierung

In diesem Abschnitt wird die Rolle von Eigenvektoren bei Prozessentwicklungen genauer untersucht.

Eigenvektoren bei der Prozessentwicklung verwenden

Wir betrachten hier noch einmal das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})$

Das im Erkundungskapitel gewonnene Wissen lässt sich mit den neuen Begriffen so formulieren.

Bisheriges Wissen

Der Verteilungsvektor ${\vec{w}}_{1} = (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ ist ein Eigenvektor der Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})$ zum Eigenwert $λ_{1} = 2$ .

Gibt es weitere Eigenvektoren zur Prozessmatrix $P$ ? Wenn ja, wie kann man sie zur Prozesseentwicklung verwenden. Bearbeite die weiteren Aufgaben zur Klärung dieser Fragen.

Aufgabe 1

Zeige mit einer Rechnung:

Jedes Vielfache $r \cdot {\vec{w}}_{1} = r \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ mit einer reellen Zahl $r \neq 0$ ist ebenfalls Eigenvektor der Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})$ zum Eigenwert $λ_{1} = 2$

Aufgabe 2

Zeige mit einer Rechnung:

Der Verteilungsvektor ${\vec{w}}_{2} = (\begin{matrix} - 10 \\ 3 \end{matrix})$ (und jedes Vielfache $r \cdot {\vec{w}}_{2}$ dieses Vektors mit einer reellen Zahl ungleich $0$ ) ist Eigenvektor der Prozessmatrix $P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})$ zum Eigenwert $λ_{2} = - 0.4$

Aufgabe 3

Das Ergebnis in Aufgabe 2 scheint auf den ersten Blick irrelevant für Vorhersagen zur Prozessentwicklung im betrachteten Populationsmodell zu sein, da negative Verteilungsvektoren in diesem Kontext keinen Sinn ergeben. Dass dem nicht so ist, zeigt folgende Berechnungssituation.

Geg.:
Prozessmatrix

P = (\begin{matrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{matrix})

Ausgangsverteilung

{\vec{v}}_{0} = (\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix})

Ges.:
Formeln für

{\vec{v}}_{i}

(a) Zeige, dass man ${\vec{v}}_{0}$ auch als Linearkombination von ${\vec{w}}_{1}$ und ${\vec{w}}_{2}$ darstellen kann:

${\vec{v}}_{0} = 3 \cdot \underset{{\vec{w}}_{1}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})}} + 1 \cdot \underset{{\vec{w}}_{2}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 10 \\ 3 \end{matrix})}} = \dots$ .

(b) Benutze die bereits bekannten Zusammenhänge $P \cdot {\vec{w}}_{1} = 2 \cdot {\vec{w}}_{1}$ und $P \cdot {\vec{w}}_{2} = (- 0.4) \cdot {\vec{w}}_{2}$ , um Formeln für die folgenden Verteilungsvektoren herzuleiten.

${\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = P \cdot (3 \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot {\vec{w}}_{2}) = \dots$

${\vec{v}}_{2} = P \cdot {\vec{v}}_{1} = \dots$

...

${\vec{v}}_{i} = \dots$

Zur Kontrolle

{\vec{v}}_{1} = P \cdot {\vec{v}}_{0} = P \cdot (3 \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot {\vec{w}}_{2}) = 3 \cdot P \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot P \cdot {\vec{w}}_{2} = 3 \cdot 2 \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot (- 0.4) \cdot {\vec{w}}_{2}

{\vec{v}}_{2} = P \cdot {\vec{v}}_{1} = P \cdot (3 \cdot 2 \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot (- 0.4) \cdot {\vec{w}}_{2}) = 3 \cdot 2 \cdot P \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot (- 0.4) \cdot P \cdot {\vec{w}}_{2} = 3 \cdot 2^{2} \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot (- 0.4)^{2} \cdot {\vec{w}}_{2}

...

{\vec{v}}_{i} = 3 \cdot 2^{i} \cdot {\vec{w}}_{1} + 1 \cdot (- 0.4)^{i} \cdot {\vec{w}}_{2}

für

i = 1, 2, \dots

(c) Berechne ${\vec{v}}_{10}$ mit der Formel für ${\vec{v}}_{i}$ aus (b). Warum ist das jetzt so einfach? Kontrolliere dein Ergebnis im Simulationstool.

Simulationstool

Prozessmatrix

\begin{pmatrix}{0{.}8} & {4}\\{0{.}36} & {0{.}8}\\\end{pmatrix}

Verteilungsvektor

\begin{matrix}\text{A1} \\ \text{A2} \\ \end{matrix}\begin{pmatrix}10 \\ 3 \\ \end{pmatrix}

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