Vertiefung

Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen

Im letzten Absatz wurde gezeigt, dass man für den Verteilungsvektor ${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ folgende einfache Entwicklungsformeln erhält:

${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=2\cdot {\overrightarrow{v}}_0$
${\overrightarrow{v}}_2=P\cdot {\overrightarrow{v}}_1=P\cdot [2\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2\cdot [P\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2\cdot [2\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2^2\cdot {\overrightarrow{v}}_0$
${\overrightarrow{v}}_3=P\cdot {\overrightarrow{v}}_2=P\cdot [2^2\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2^2\cdot [P\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2^2\cdot [2\cdot {\overrightarrow{v}}_0]=2^3\cdot {\overrightarrow{v}}_0$
...
${\overrightarrow{v}}_i=2^i\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ für $i=1,2,\dots$

Gilt dieser Zusammenhang für die vorgegebene Prozessmatrix $P$ und beliebige Verteilungsvektoren? Betrachte hierzu einen exemplarisch gewählten Verteilungsvektor.

Aufgabe 1

(a) Berechne ${\overrightarrow{v}}_1$ und kläre so, ob auch für den aktuell betrachteten Verteilungsvektor die Beziehung ${\overrightarrow{v}}_1=2\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ gilt.

${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)=\dots$

(b) Berechne ${\overrightarrow{v}}_{10}$ mit Hilfe des Simulationstools oben. Zeige: ${\overrightarrow{v}}_{10}\approx 2^{10}\cdot {\overrightarrow{v}}_0$. Warum das so ist, wird im folgenden Kapitel gezeigt.