Vertiefung

Eigenvektoren bei der Prozessentwicklung verwenden

Wir betrachten hier noch einmal das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=2$, d.h. $\underset{P}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}=\underset{{\lambda }_1}{\underbrace{2}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}$ ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.4$, d.h. $\underset{P}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}=\underset{{\lambda }_2}{\underbrace{(-0.4)}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}$

Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:

${\overrightarrow{v}}_0=3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}$.

Für diese Linearkombination der Eigenvektoren gilt:

${\overrightarrow{v}}_i=3\cdot \underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{2^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\lambda }_2^i}{\underbrace{(-0.4{)}^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}$

Aufgabe 1

(a) Begründe:

${\overrightarrow{v}}_i\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{\approx }}\underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{2^i}}\cdot 3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}$.

(b) Begründe:

Der Prozess wächst auf lange Sicht exponentiell mit dem Wachstumsfaktor $2$. Überprüfe die Aussage im Simulationstool.

Aufgabe 2

Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.2& 2\\ 0.32& 0.2\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=1$. ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.6$.

(a) Zeige durch Nachrechnen, dass die Prozessmatrix $P$ die angegebenen Eigenvektoren hat.

(b) Welche Aussage lässt sich direkt über ${\overrightarrow{w}}_1^i$ treffen?

(c) Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.

${\overrightarrow{v}}_0=5\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right)}}$.

Welche Aussage lässt sich über die langfristige Entwicklung von ${\overrightarrow{v}}_0^i$ treffen? Kontrolliere dein Ergebnis im Simulationstool.

Aufgabe 3

Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.1& 1\\ 0.49& 0.1\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=0.8$. ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.6$.

(a) Zeige durch Nachrechnen, dass die Prozessmatrix $P$ die angegebenen Eigenvektoren hat.

(b) Welche Aussage lässt sich über ${\overrightarrow{w}}_1^i$ treffen?

(c) Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.

${\overrightarrow{v}}_0=8\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)}}+3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)}}$.

Welche Aussage lässt sich über die langfristige Entwicklung von ${\overrightarrow{v}}_0^i$ treffen? Kontrolliere dein Ergebnis im Simulationstool.