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Vertiefung

Zur Orientierung

Im vorangehenden Abschnitt wurden die Eigenvektoren von $2 \times 2$ -Matrizen bestimmt. In diesem Abschnitt betrachten wir $3 \times 3$ -Matrizen. Das Vorgehen bei diesen Matrizen ist völlig analog zum Vorgehen bei $2 \times 2$ -Matrizen. Die Berechnung sind nur aufwendiger. Wir führen sie hier daher mit einem Computeralgebrasystem durch.

Eigenwerte bestimmen

Zur Bestimmung der Eigenwerte benutzen wir die folgende (auch für $3 \times 3$ -Matrizen geltende) Eigenwertbedingung:

Eigenwertbedingung

Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind die Lösungen der Gleichung $det (A - λ \cdot E) = 0$ .

Im GeoGebra-Applet wird diese Bedingung benutzt, um die Eigenwerte der oben vorgegebenen Matrix $A$ zu bestimmen. Man kann im Applet die Matrix $A$ abändern und so auch die Eigenwerte von anderen $3 \times 3$ -Matrizen bestimmen.

Aufgabe 1

Bestimme die Eigenwerte der $3 \times 3$ -Matrix $A = (\begin{matrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{matrix})$ .

Eigenvektoren bestimmen

Die Eigenvektoren Zur Bestimmung der Eigenwerte benutzen wir die folgende (auch für $3 \times 3$ -Matrizen geltende) Eigenwertbedingung:

Eigenvektorbedingung

Für eine beliebige quadratische Matrix $A$ gilt: Ist $λ$ ein Eigenwert von $A$ , so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren $\vec{v} \neq \vec{0}$ als Lösungen der Vektorgleichung $(A - λ \cdot E) \cdot \vec{v} = \vec{0}$ .

Im GeoGebra-Applet wird diese Bedingung benutzt, um die Eigenvektoren der vorgegebenen Matrix $A$ zum vorgegebenen Eigenwert $λ$ zu bestimmen. Man kann im Applet die Matrix $A$ und den Eigenwert $λ$ abändern und so auch die Eigenvektoren von anderen $3 \times 3$ -Matrizen bestimmen.

Das Applet liefert die Lösung der Vektorgleichung in der GeoGebra-Notation. Diese Notation muss man anschließend in die gängige Vektornotation übersetzen.

Übersetzung der GeoGebra-Notation

Die Lösungsangabe

{{v 1 = - v 3, v 2 = 0, v 3 = v 3}}

bedeutet, dass man

v 3

beliebig wählen kann. Man erhält so

\vec{v} = (\begin{matrix} - v 3 \\ 0 \\ v 3 \end{matrix}) = v 3 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Beachte, dass man zusätzlich

v 3 \neq 0

fordern muss.

Aufgabe 2

Bestimme die Eigenvektoren der $3 \times 3$ -Matrix $A = (\begin{matrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{matrix})$ .

Fertige Tools verwenden

Zur Bestimmung der Eigenwerte einer $3 \times 3$ -Matrix $A$ kann man auch das folgende Eigenwert-Tool verwenden. Hier muss man nur im Eingabefeld die betrachtete Matrix eingeben.

Zum Herunterladen: eigenwerttool.ggb

Wenn man einen Eigenwert zu einer $3 \times 3$ -Matrix $A$ kennt, dann kann man mit dem folgende Eigenvektor-Tool die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen. Aber Achtung: Das Tool funktioniert nur, wenn man mit exakten Werten arbeitet. Wenn man gerundete Eigenwerte oder auch Terme als Eigenwerte im entsprechenden Eingabefeld eingibt, dann wir mit gerundeten Werten weitergerechnet. Das ergibt dann keine zulässigen Eigenvektoren.