o-mathe | Bestimmung von Eigenvektoren » Zusammenfassung

Zusammenfassung - Bestimmung von Eigenvektoren

Zur Orientierung

Ziel ist es hier, ein Verfahren zur Bestimmung von Eigenvektoren zu entwickeln.

Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $λ$ gibt, so dass folgende Eigenvektorgleichung erfüllt ist:

$A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}$

Wir verdeutlichen das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren anhand von $2 \times 2$ -Matrizen. Wir betrachten daher folgende Problemsituation:

Geg.:
Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$

Ges.:
Eigenvektoren der Matrix $A$

Beachte, dass sich ein Großteil der Überlegungen zur Bestimmung der Eigenvektoren für $2 \times 2$ -Matrizen direkt auf beliebige quadratische Matrizen übertragen lässt.

Umformung der Eigenvektorgleichung

Ausgangspunkt sämtlicher Überlegungen zur Bestimmung von Eigenvektoren ist die Eigenvektorgleichung:

$A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}$

Die folgende Übersicht zeigt, wie man diese Eigenvektorgleichung auch anders formulieren und in ein System aus Koordinatengleichungen überführen kann.

Umformung der Eigenvektorgleichung	Erläuterungen
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = λ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$	So sind Eigenvektoren festgelegt.
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$	Die Eiheitsmatrix verändert bei der Multiplikation mit einem Vektor diesen Vektoren nicht.
$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} - λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	Auf beiden Seiten der Gleichung wird der $λ$ -Ausdruck subtrahiert.
$[\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} - λ \cdot \underset{E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}}] \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	Der Vektor $\vec{v}$ wird ausgeklammert. Das ist erlaubt, da das Distributivgesetz für die Multiplikation von Matrizen / Vektoren gilt.
$\underset{A - λ \cdot E}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a - λ & b \\ c & d - λ \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}} = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}}$	Die Rechnungen in den eckigen Klammern werden ausgeführt.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	Die Matrixschreibweise wird in eine Gleichungsschreibweise umgewandet.

Beachte: Die Umformungsschritte in der Übersicht gelten nicht nur für beliebige $2 \times 2$ -Matrizen $A$ . Es gilt folgender Zusammenhang für beliebige quadratische Matrizen.

Eigenvektorbedingung

Für eine beliebige quadratische Matrix $A$ gilt: Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $λ$ gibt, so dass die folgende Bedingung (mit der zu $A$ passenden Einheitsmatrix $E$ ) erfüllt ist:

$(A - λ \cdot E) \cdot \vec{v} = \vec{0}$

Herleitung einer Eigenwertgleichung – am Beipiel

Die Schritte zur Herleitung einer Eigenwertgleichung sind für beliebige $2 \times 2$ -Matrizen mit vielen Fallunterscheidungen verbunden. Wir betrachten daher zuerst eine konkrete $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})$ . Für diese Matrix erhält man folgende Eigenvektorgleichung in Koordinatenform:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 4 \cdot v_{1} & + & (3 - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

Für die weiteren Überlegungen ist die Voraussetzung wichtig, dass ein Eigenvektor kein Nullvektor ist. Wenn $\vec{v} \neq \vec{0}$ , dann folgt hieraus, dass im vorliegenden Beispiel $λ \neq 1$ und $λ \neq 3$ gelten muss. Das sieht man, indem man indirekt schließt: Wenn $λ = 1$ gelten würde, dann müsste $v_{2} = 0$ gelten, um Gleichung $[1]$ zu erfüllen. Um auch noch Gleichung $[2]$ zu erfüllen, müsste dann auch noch $v_{1} = 0$ gelten. Hieraus würde dann $\vec{v} = \vec{0}$ folgen. Entsprechend kann man für $λ = 3$ argumentieren.

Also: Im vorliegenden Beispiel gilt für Eigenvektoren die Voraussetzung $λ \neq 1$ und $λ \neq 3$ .

Das LGS zur Eigenvektorgleichung wird jetzt mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in Stufenform transformiert.

vorgegebenes LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 4 \cdot v_{1} & + & (3 - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
Äquivalenzumformung	$[1] \leftarrow [1] \cdot 4$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 \cdot (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot 4 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 4 \cdot v_{1} & + & (3 - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
Äquivalenzumformung	$[2] \leftarrow [2] \cdot (1 - λ)$ beachte: $(1 - λ) \neq 0$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 \cdot (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot 4 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & 4 \cdot (1 - λ) \cdot v_{1} & + & (1 - λ) \cdot (3 - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
Äquivalenzumformung	$[2] \leftarrow [2] + (- 1) \cdot [1]$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 \cdot (1 - λ) \cdot v_{1} & + & 2 \cdot 4 \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & [(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4] \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

Damit es Eigenvektoren $\vec{v} \neq \vec{0}$ gibt, muss die folgende Eigenwertgleichung erfüllt sein:

$(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4 = 0$

Um das einzusehen, kann man wieder indirekt argumentieren: Wenn $(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4 \neq 0$ gelten würde, dann müsste $v_{2} = 0$ gelten, um Gleichung $[2]$ zu erfüllen. Da $λ \neq 1$ , müsste dann auch $v_{1} = 0$ gelten, um Gleichung $[1]$ zu erfüllen. Hieraus würde dann $\vec{v} = \vec{0}$ folgen.

Die Eigenwertgleichung lässt sich jetzt nach der Variablen $λ$ lösen. Es gilt:

$(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4 = λ^{2} - 4 λ - 5 = (λ + 1) \cdot (λ - 5)$

Also:

$(1 - λ) \cdot (3 - λ) - 2 \cdot 4 = 0$ genau dann, wenn $λ = - 1$ oder $λ = 5$ .

Mit der Eigenwertgleichung erhält man somit die Eigenwerte $λ = - 1$ bzw. $λ = 5$ zur Matrix $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})$ .

Herleitung einer Eigenwertgleichung – für beliebige $2 \times 2$ -Matrizen

Im Fall beliebiger $2 \times 2$ -Matrizen geht man analog zum Beispiel oben vor. Im allgemeinen Fall muss man für einige Umformungsschritte allerdings weitere Voraussetzungen treffen.

Fall 1: Voraussetzung: $c \neq 0$ und $a \neq λ$ .	Fall 1: Voraussetzung: $b \neq 0$ und $d \neq λ$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[1] \leftarrow [1] \cdot c$ Vor.: $c \neq 0$	$[2] \leftarrow [2] \cdot b$ Vor.: $b \neq 0$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] \cdot (a - λ)$ Vor.: $(a - λ) \neq 0$	$[1] \leftarrow [1] \cdot (d - λ)$ Vor.: $(d - λ) \neq 0$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & (a - λ) \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot (d - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] + (- 1) \cdot [1]$	$[1] \leftarrow [1] + (- 1) \cdot [2]$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & c \cdot (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot c \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & [(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c] \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & [(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c] \cdot v_{1} & = & 0 \\ [2] & b \cdot c \cdot v_{1} & + & b \cdot (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

Damit $A$ Eigenvektoren mit $\vec{v} \neq \vec{0}$ hat, muss die Bedingung $(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$ erfüllt sein. Um das nachzuweisen, muss man eine ganze Reihe von Fällen durchspielen.

Fall 1:

c \neq 0

und

a \neq λ

Wenn

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c \neq 0

gelten würde, dann müsste

v_{2} = 0

gelten, um Gleichung

[2]

zu erfüllen. Da

λ \neq a

, müsste dann auch

v_{1} = 0

gelten, um Gleichung

[1]

zu erfüllen. Hieraus würde dann

\vec{v} = \vec{0}

folgen.

Fall 2:

b \neq 0

und

d \neq λ

Wenn

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c \neq 0

gelten würde, dann müsste

v_{1} = 0

gelten, um Gleichung

[1]

zu erfüllen. Da

λ \neq d

, müsste dann auch

v_{2} = 0

gelten, um Gleichung

[2]

zu erfüllen. Hieraus würde dann

\vec{v} = \vec{0}

folgen.

Fall 3:

a = λ

Wenn

a = λ

gilt, dann muss

b \cdot v_{2} = 0

gelten, um Gleichung

[1]

(im Ausgangs-LGS) zu erfüllen. Folglich muss

b = 0

oder

v_{2} = 0

gelten. Wenn

v_{2} = 0

zutrifft, dann muss auch

c \cdot v_{1} = 0

gelten. Da im Fall

v_{2} = 0

nicht auch

v_{1} = 0

gelten kann, muss also

c = 0

gelten. Insgesamt erhält man für

a = λ

, dass

b = 0

oder

c = 0

zutrifft. Hieraus folgt, dass auch im Fall

a = λ

die Gleichung

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0

gelten muss, damit es Eigenvektoren

\vec{v} \neq \vec{0}

gibt. Wenn

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c \neq 0

gelten würde, dann müsste

v_{1} = 0

gelten, um Gleichung

[1]

zu erfüllen.

Fall 4:

d = λ

Hier kann man analog zum Fall 3 argumentieren. Es folgt, dass auch im Fall

d = λ

die Gleichung

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0

gelten muss, damit es Eigenvektoren

\vec{v} \neq \vec{0}

gibt.

Fall 5:

c = 0

Wenn

c = 0

gilt, dann muss

(d - λ) \cdot v_{2} = 0

gelten, um Gleichung

[2]

(im Ausgangs-LGS) zu erfüllen. Folglich muss

d = λ

oder

v_{2} = 0

gelten. Der Fall

d = λ

wird bereits in Fall 4 betrachtet. Wenn

v_{2} = 0

zutrifft, dann muss auch

(a - λ) \times v_{1} = 0

gelten. Für

v_{2} = 0

kann

v_{1} = 0

für Eigenvektoren

\vec{v} \neq \vec{0}

nicht zutreffen. Es muss also

a = λ

gelten. Der Fall

a = λ

wird bereits in Fall 3 betrachtet. Insgesamt erhält man, dass auch im Fall

c = 0

die Gleichung

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0

gelten muss, damit es Eigenvektoren

\vec{v} \neq \vec{0}

gibt.

Fall 6:

b = 0

Hier kann man analog zum Fall 5 argumentieren. Es folgt, dass auch im Fall

b = 0

die Gleichung

(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0

gelten muss, damit es Eigenvektoren

\vec{v} \neq \vec{0}

gibt.

Wir fassen das Ergebnis im folgenden Satz zusammen.

Eigenwertbedingung

Für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:

$(a - λ) \cdot (d - λ) - b \cdot c = 0$

Diese Gleichung nennt man auch charakteristischen Gleichung.

Im Kapitel Inverse 2x2-Matrizen wurde die Determinate einer $2 \times 2$ -Matrix eingeführt:

Unter der Determinate einer $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ versteht man den Ausdruck $det (A) = a \cdot d - b \cdot c$ .

Die Eigenwertbedingung kann man mit Hilfe der Determinante auch so formulieren:

Eigenwertbedingung

Für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:

$det (A - λ \cdot E) = 0$

Beachte: Die Eigenwertbedingung $det (A - λ \cdot E) = 0$ gilt für beliebige quadratische Matrizen $A$ . Man muss hierzu die Determinante geeignet für beliebige quadratische Matrizen festlegen.

Bestimmung von Eigenvektoren mit Hilfe von Eigenwerten

Ist $λ$ ein Eigenwert von $A$ , so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren durch Auflösen des LGS nach den Variablen $v_{1}$ und $v_{2}$ .

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & (a - λ) \cdot v_{1} & + & b \cdot v_{2} & = & 0 \\ [2] & c \cdot v_{1} & + & (d - λ) \cdot v_{2} & = & 0 \end{array}$

In der Übersicht sind die möglichen Fällen aufgelistet.

Bedingung	Auflösung nach einer Variablen	Eigenvektoren
$a \neq λ$	$[1] v_{1} = - \frac{b}{a - λ} \cdot v_{2}$ Einsetzen von $v_{1}$ in $[2]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} - \frac{b}{a - λ} \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$d \neq λ$	$[2] v_{2} = - \frac{c}{d - λ} \cdot v_{1}$ Einsetzen von $v_{2}$ in $[1]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{c}{d - λ} \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$c \neq 0$	$[1] v_{1} = - \frac{d - λ}{c} \cdot v_{2}$ Einsetzen von $v_{1}$ in $[2]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} - \frac{d - λ}{c} \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$b \neq 0$	$[2] v_{2} = - \frac{a - λ}{b} \cdot v_{1}$ Einsetzen von $v_{2}$ in $[1]$ liefert $0 = 0$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{a - λ}{b} \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$a = λ$ und $b = 0$ und $c = 0$		$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$d = λ$ und $b = 0$ und $c = 0$		$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$

Für jeden Eigenwert ergeben sich jeweils unendlich viele Eigenvektoren.

Für die Matrix $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})$ mit den Eigenwerten $λ = - 1$ bzw. $λ = 5$ erhält man so:

Eigenwert	Eigenvektoren
$λ = - 1$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$
$λ = 5$	$\vec{v} = r \cdot (\begin{matrix} 0.5 \\ 1 \end{matrix})$ mit $r \neq 0$

Zusammenfassung - Bestimmung von Eigenvektoren

Zur Orientierung

Umformung der Eigenvektorgleichung

Eigenvektorbedingung

Herleitung einer Eigenwertgleichung – am Beipiel

Herleitung einer Eigenwertgleichung – für beliebige 2×2-Matrizen

Eigenwertbedingung

Eigenwertbedingung

Bestimmung von Eigenvektoren mit Hilfe von Eigenwerten

Suche

Rückmeldung geben

Herleitung einer Eigenwertgleichung – für beliebige $2 \times 2$ -Matrizen