Erarbeitung

Eigenvektoren berechnen

Ein Vektor $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $\lambda$ gibt mit $A\cdot \overrightarrow{v}=\lambda \cdot \overrightarrow{v}$. Die Zahl $\lambda$ ist dann der zum Eigenvektor $\overrightarrow{v}$ gehörende Eigenwert von $A$.

Im Fall der vorgegebenen Matrix $A$ muss also folgende Vektorgleichung erfüllt sein:

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}}=\lambda \cdot \underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}}$

Aufgabe 1

Zeige, dass man die Vektorgleichung in die folgenden Koordinatengleichungen überführen kann.

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& (1-\lambda )\cdot v_1& +& 2\cdot v_2& =& 0\\ [2]& 4\cdot v_1& +& (3-\lambda )\cdot v_2& =& 0\end{array}$

Aufgabe 2

Begründe mit der Voraussetzung $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$, dass $\lambda \ne 1$ und $\lambda \ne 3$ gelten muss.

Aufgabe 3

Das LGS wird mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in Stufenform gebracht. Ergänze die fehlenden Teile in der folgenden Übersicht.

Aufgabe 4

Warum muss die Bedingung $(1-\lambda )\cdot (3-\lambda )-2\cdot 4=0$ erfüllt sein, damit das LGS Lösungen hat? Begründe diese Bedingung mit Hilfe der Voraussetzung $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$.

Aufgabe 5

Löse die quadratische Gleichung $(1-\lambda )\cdot (3-\lambda )-2\cdot 4=0$ nach der Variablen $\lambda$ auf.

Aufgabe 6

Betrachte $\lambda =-1$. Wenn man diesen Wert für $\lambda$ in das LGS in Stufenform aus Aufgabe 3 einsetzt, erhält man das LGS:

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& 8\cdot v_1& +& 8\cdot v_2& =& 0\\ [2]& & & 0& =& 0\end{array}$

Begründe: Das neu entstandene LGS hat unendlich viele Lösungen. Man kann sie in der folgenden Form darstellen:

$\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}}=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ mit einer reellen Zahl $r\ne 0$

Aufgabe 6

Betrachte $\lambda =5$. Wenn man diesen Wert für $\lambda$ in das LGS in Stufenform aus Aufgabe 3 einsetzt, erhält man das LGS:

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& -16\cdot v_1& +& 8\cdot v_2& =& 0\\ [2]& & & 0& =& 0\end{array}$

Begründe: Das neu entstandene LGS hat unendlich viele Lösungen. Man kann sie in der folgenden Form darstellen:

$\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}}=r\cdot \left(\begin{array}{c}0.5\\ 1\end{array}\right)$ mit einer reellen Zahl $r\ne 0$

Aufgabe 7

Formuliere das Ergebnis:

Die Matrix $A$ hat Eigenvektoren der Form $\overrightarrow{v}=\dots$ zum Eigenwert $\lambda =\dots$ sowie Eigenvektoren der Form $\overrightarrow{v}=\dots$ zum Eigenwert $\lambda =\dots$.