Übungen - Bestimmung von Eigenvektoren

Aufgabe 1

Prüfe, ob die folgenden Behauptungen stimmen. Begründe jeweils.

(a) A. behauptet: Die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -2\end{array}\right)$ hat die Eigenwerte $2$ und $-2$.

(b) B. behauptet: Die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$ hat den Eigenwert $2$.

(c) C. behauptet: Die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ hat keine Eigenwerte.

(d) D. behauptet: Eine Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ hat maximal $2$ Eigenwerte.

(e) E. behauptet: Eine Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ kann auch den Eigenwert $0$ haben.

(f) F. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)$ hat die Eigenwerte $a$ und $d$.

(g) G. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& d\end{array}\right)$ hat keine Eigenwerte.

(h) H. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ c& 0\end{array}\right)$ hat die Eigenwerte $-b$ und $-c$.

(i) I. behauptet: Die beiden Matrizen $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$ haben dieselben Eigenwerte.

(j) J. behauptet: Die beiden Matrizen $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$ haben dieselben Eigenwerte und folglich auch dieselben Eigenvektoren.

(k) K. behauptet: Es gibt eine Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, die die Eigenwerte $1$ und $4$ hat.

Aufgabe 2

Bestimme die Eigenvektoren der folgenden Matrizen.

(a) $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$

(b) $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 8& 0\end{array}\right)$

(c) $C=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$

(d) $D=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Aufgabe 3

Gegeben ist die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& -2\end{array}\right)$.

(a) Zeige, dass die Matrix $A$ die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren hat:

$\begin{array}{lllll}{\lambda }_1=-2& :& {\overrightarrow{w}}_1=r\cdot \left(\begin{array}{c}-0.2\\ 1\end{array}\right)& ;& r\ne 0\\ {\lambda }_2=3& :& {\overrightarrow{w}}_2=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)& ;& r\ne 0\end{array}$

(b) Aus den Eigenwerten und den Eigenvektoren werden die Hilfsmatrizen $D$ und $T$ gebildet:

$D=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

$T=\left(\begin{array}{cc}-0.2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Zeige, dass $T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0.2\end{array}\right)$ gilt.

Berechne $T\cdot D\cdot T^{-1}$. Was fällt auf?