o-mathe | Prozessentwicklung mit Eigenvektoren » Überprüfung

Überprüfung - Prozessentwicklung mit Eigenvektoren

Aufgabe 1

Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = (\begin{matrix} 0.5 & 4.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{matrix})$

(a) Zeige mit einer Berechnung:

${\vec{w}}_{1} = (\begin{matrix} 30 \\ 10 \end{matrix})$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $λ_{1} = 2$ .
${\vec{w}}_{2} = (\begin{matrix} - 30 \\ 10 \end{matrix})$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $λ_{2} = - 1$ .

(b) Ergänze zu einer wahren Aussage:

Für ${\vec{v}}_{0} = {\vec{w}}_{1}$ gilt: ...

Für ${\vec{v}}_{0} = {\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2}$ gilt: ...

Zur Verfügung stehen die folgenden Teilaussagen:

Die Population stabilisiert sich auf lange Sicht bei der Verteilung ${\vec{v}}_{0}$ .
Die Population wächst exponentiell.
Die Population zerfällt auf lange Sicht und stirbt aus.
Die Population wechselt zwischen zwei Verteilungen hin und her.
Die Population wächst auf lange Sicht exponentiell.
Es ist keine Vorhersage über die langfristige Entwicklung der Population möglich.

Zur Kontrolle

Für ${\vec{v}}_{0} = {\vec{w}}_{1}$ gilt ${\vec{v}}_{i} = 2^{i} \cdot {\vec{v}}_{0}$ . Die Population wächst also exponentiell.

Für ${\vec{v}}_{0} = {\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2}$ gilt ${\vec{v}}_{i} = 2^{i} \cdot {\vec{w}}_{1} + (- 1)^{i} \cdot {\vec{w}}_{2}$ .
$2^{i} \cdot {\vec{w}}_{1}$ wächst exponentiell. $(- 1)^{i} \cdot {\vec{w}}_{2}$ wechselt zwischen zwei Verteilungen.
Mit dem dominanten Teil $2^{i} \cdot {\vec{w}}_{1}$ wächst die Population damit auf lange Sicht exponentiell.

Überprüfung - Prozessentwicklung mit Eigenvektoren

Aufgabe 1

Suche

Rückmeldung geben