Zusammenfassung - Prozessentwicklung mit Eigenvektoren

Die Grundidee

Wir betrachten das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)$

Bei diesem Modell gibt es Verteilungsvektoren mit einem besonderen Verhalten. Bei bestimmten Verteilungen erhält man die nächste Verteilung, indem man die vorherige mit einer Zahl vervielfacht.

Die Berechnung weiterer Verteilungsvektoren für eine langfristige Prognose ist hier besonders einfach. Man muss den Ausgangsverteilungsvektor nur mit einer $2$er-Potenz multiplizieren. Das führt im vorliegenden Populationsmodell für die betrachtete Ausgangsverteilung zu einem exponentiellen Wachstum.

Das Eigenvektorkonzept

Im Beispiel oben erzeugt die Prozessmatrix aus dem betrachteten Ausgangsverteilungsvektor ein Vielfaches dieses Vektors. Dieses Verhalten der Matrix ist auch in anderen Bereichen der Linearen Algebra von Bedeutung. Man führt daher Begriffe ein, um es allgemein zu charakterisieren.

Mit diesen Begriffen lässt sich das beobachtete Verhalten im oben gezeigten Populationsentwicklung so beschreiben:

Im Beispiel sieht man bereits, dass Vielfache von Eigenvektoren einer Matrix auch Eigenvektoren dieser Matrix mit demselben Eigenwert sind.

Die Begründung ist ganz einfach: Wenn $A\cdot \overrightarrow{v}=\lambda \cdot \overrightarrow{v}$ gilt, dann gilt auch $A\cdot (r\cdot \overrightarrow{v})=r\cdot (A\cdot \overrightarrow{v})=r\cdot \lambda \cdot \overrightarrow{v}=\lambda \cdot (r\cdot \overrightarrow{v})$.

Darstellung von Vektoren mit Eigenvektoren

Eine vorgegebene Matrix kann Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten haben. Das kann man dann ggf. verwenden, um Vektoren als Linearkombination von Eigenvektoren darzustellen. Wir verdeutlichen den Nutzen dieses Ansatzes anhand verschiedener Populationsentwicklungsmodelle.

Beispiel 1

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=2$. ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.4$.

Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:

${\overrightarrow{v}}_0=3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)$.

Für diesen Verteilungsvektor erhält man folgende Prozessentwicklung:

${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=P\cdot (3\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot {\overrightarrow{w}}_2)=3\cdot P\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot P\cdot {\overrightarrow{w}}_2=3\cdot 2\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot (-0.4)\cdot {\overrightarrow{w}}_2$
${\overrightarrow{v}}_2=P\cdot {\overrightarrow{v}}_1=P\cdot (3\cdot 2\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot (-0.4)\cdot {\overrightarrow{w}}_2)=3\cdot 2\cdot P\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot (-0.4)\cdot P\cdot {\overrightarrow{w}}_2=3\cdot 2^2\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot (-0.4{)}^2\cdot {\overrightarrow{w}}_2$
...
${\overrightarrow{v}}_i=3\cdot 2^i\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot (-0.4{)}^i\cdot {\overrightarrow{w}}_2$ für $i=1,2,\dots$

Es gilt demnach:

${\overrightarrow{v}}_i=3\cdot \underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{2^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\lambda }_2^i}{\underbrace{(-0.4{)}^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}$

Da $(-0.4{)}^i\to 0$ für $i\to \mathrm{\infty }$, erhält man:

${\overrightarrow{v}}_i\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{\approx }}\underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{2^i}}\cdot 3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}$.

Auf lange Sicht wächst die Population hier nahezu exponentiell mit dem Wachstumsfaktor $2$. Der domenante Eigenwert ${\lambda }_1=2$ bestimmt also das langfristige Verhalten bei der gewählten Ausgangsverteilung. Dieser Sachverhalt gilt entsprechend für alle Ausgangsverteilungen, die sich als Linearkombination der beiden Eingenvektoren darstellen lassen.

Beispiel 2

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.2& 2\\ 0.32& 0.2\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=1$. ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.6$.

Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:

${\overrightarrow{v}}_0=5\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{c}40\\ 24\end{array}\right)$.

Für diesen Verteilungsvektor erhält man folgende Prozessentwicklung:

${\overrightarrow{v}}_i=5\cdot \underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{1^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\lambda }_2^i}{\underbrace{(-0.6{)}^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right)}}\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{\approx }}\underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{1^i}}\cdot 5\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}}=5\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}}$

Die Verteilung stabililisiert sich auf lange Sicht bei der Ausgangsverteilung.

Beispiel 3

Übergangsgraph	Prozessmatrix	Eigenvektoren und Eigenwerte
	$P=\left(\begin{array}{cc}0.1& 1\\ 0.49& 0.1\end{array}\right)$	${\overrightarrow{w}}_1=\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_1=0.8$. ${\overrightarrow{w}}_2=\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert ${\lambda }_2=-0.6$.

Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:

${\overrightarrow{v}}_0=8\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)}}+3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{c}50\\ 77\end{array}\right)$.

Für diesen Verteilungsvektor erhält man folgende Prozessentwicklung:

${\overrightarrow{v}}_i=8\cdot \underset{{\lambda }_1^i}{\underbrace{{0.8}^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)}}+3\cdot \underset{{\lambda }_2^i}{\underbrace{(-0.6{)}^i}}\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)}}\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{\approx }}8\cdot 0\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)}}+3\cdot 0\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Die Verteilung zerfällt auf lange Sicht.