o-mathe | Erkundung - Ein Löseverfahren

Einstieg

Zur Orientierung

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus – meist mehreren – linearen Gleichungen, die mehrere Variablen enthalten können. Eine Lösung des Gleichungssystems muss alle enthaltenen Gleichungen erfüllen.

Als Beispiel betrachte das folgende LGS, das aus zwei linearen Gleichungen mit den Variablen $x$ und $y$ besteht.

$\begin{array}{lrclcrcr} [1] & 2 x & + & 2 y & = & 120 \\ [2] & x & - & y & = & 10 \end{array}$

Dieses LGS hat die Lösung $(x; y) = (35; 25)$ .

Mit linearen Gleichungssystemen, die aus $2$ Gleichungen mit $2$ Variablen bestehen, hast du dich bereits intensiv in der Mittelstufe auseinandergesetzt. Wir werden in diesem Kapitel komplexere lineare Gleichungssysteme betrachten und ein Verfahren zum Lösen solcher Gleichungssysteme entwickeln.

Den Aufwand zum Lösen eines LGS abschätzen

Ein lineares Gleichungssystem zu lösen kann sehr einfach, aber auch recht aufwendig sein. Ziel der folgenden Aufgaben ist es, den Aufwand abzuschätzen. Hierzu werden die folgenden Gleichungssysteme vorgegeben.

Version	LGS	Bestimmung der Lösung
A	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ [2] & 5 x_{2} & - & x_{3} & = & 4 \\ [3] & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & - 8 \end{array}$
B	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 x_{1} & = & - 3 \\ [2] & x_{1} & + & x_{3} & = & - 2 \\ [3] & 2 x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \end{array}$
C	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & = & 2 \\ [2] & 3 x_{2} & = & 0 \\ [3] & - 2 x_{3} & = & 8 \end{array}$
D	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & - x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ [3] & 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$
E	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & - & x_{2} & + & x_{3} & = & - 2 \\ [2] & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 0 \\ [3] & 4 x_{3} & = & - 4 \end{array}$
F	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 x_{2} & = & 8 \\ [2] & - x_{1} & = & - 3 \\ [3] & 2 x_{3} & = & - 4 \end{array}$

Aufgabe 1

Du sollst vier von den vorgegebenen linearen Gleichungssystemen ohne Hilfsmittel lösen. Suche dir die aus, bei denen das am einfachsten geht und löse sie.

Aufgabe 2

Nach welchen Kriterien hast du dir die Gleichungssysteme in Aufgabe 1 ausgesucht. Erläutere kurz. Beschreibe den Aufbau von Gleichungssystemen, die sich direkt oder mit geringem Aufwand lösen lassen.

Aufgabe 3

Für Gleichungssysteme, die man direkt oder mit geringem Aufwand lösen kann, werden in der Fachliteratur die Begriffe LGS in Diagonalform und LGS in Stufenform benutzt. Was könnte damit gemeint sein? Erläutere kurz.

Aufgabe 4

Beurteile folgende Strategie: Zum Lösen eines LGS formt man es in ein äquivalentes LGS in Stufenform (und dann ggf. weiter in ein äquivalentes LGS in Diagonalform) um.

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