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Zusammenfassung - Gauß-Verfahren

Ein LGS systematisch lösen

Wenn man ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) mit vielen Gleichungen und vielen Variablen lösen möchte, dann sollte man dabei systematisch vorgehen, um den Überblick nicht zu verlieren. Das Gauß-Verfahren bzw. Gaußsches-Eliminationsverfahren (benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren, mit dem man beliebige lineare Gleichungssysteme systematisch lösen kann. Dieses Verfahren ist ein algorithmisches Verfahen – das heißt, es kann von einem Computer durchgeführt werden. Jedes Computeralgebrasystem benutzt ein solches algorithmisches Verfahren beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Die Grundidee des Gauß-Verfahrens

Gauß-Verfahren

Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. In der Stufenform verringert sich die Anzahl der Variablen zeilenweise um mindestens eins. Das LGS in Stufenform lässt sich dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts auflösen.

Phase 1: Ein LGS in Stufenform umwandeln

GleichungenTabelle
LGS in Rechteckform [1]3x1+9x2+(−2)x3=−1[2]2x1+4x2+(−2)x3=0[3]−4x1+(−5)x2+7x3=3 [1]39−2−1[2]24−20[3]−4−573
Äquivalenzumformungen … …
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]2x3=4 [1]12−10[2]031−1[3]0024

Phase 2: Die Gleichungen des LGS in Stufenform nach den Variablen auflösen

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]2x3=4 [1]12−10[2]031−1[3]0024
rückwärts auflösen … …
Lösung des LGS [1]x1=4[2]x2=−1[3]x3=2

Wenn man ein LGS beim Lösen umformt, dann darf sich dabei die Lösungsmenge nicht verändern. Umformungsschritte, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen eines LGS

Die folgenden Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen und verändern somit die Lösungsmenge des LGS beim Umformen nicht:

  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
  • eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
  • eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren

Beachte, dass sich die letztgenannte Umformung aus den beiden ersten zusammensetzt. Beachte auch, dass es weitere Äquivalenzumformungen gibt wie z.B.: eine Gleichung von einer anderen subtrahieren. Das Vertauschen von Zeilen benötigt man zum Lösen eines LGS nicht. Es ist aber zweckmäßig um die Stufenform auch optisch in Stufen darzustellen.

Beispiel – ein LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen

Von der Rechteckform zur Stufenform

Zunächst wird ein vorgegebenes LGS, das in Rechteckform vorliegen kann, schrittweise mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine Stufenform transformiert.

GleichungenTabelle
LGS in Rechteckform [1]3x1+9x2+(−2)x3=−1[2]2x1+4x2+(−2)x3=0[3]−4x1+(−5)x2+7x3=3 [1]39−2−1[2]24−20[3]−4−573
Äquivalenzumformung [1]↔[2] [1]↔[2]
transformiertes LGS [1]2x1+4x2+(−2)x3=0[2]3x1+9x2+(−2)x3=−1[3]−4x1+(−5)x2+7x3=3 [1]24−20[2]39−2−1[3]−4−573
Äquivalenzumformung [1]←[1]⋅1/2 [1]←[1]⋅1/2
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x1+9x2+(−2)x3=−1[3]−4x1+(−5)x2+7x3=3 [1]12−10[2]39−2−1[3]−4−573
Äquivalenzumformung [2]←[2]+[1]⋅(−3) [2]←[2]+[1]⋅(−3)
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]−4x1+(−5)x2+7x3=3 [1]12−10[2]031−1[3]−4−573
Äquivalenzumformung [3]←[3]+[1]⋅4 [3]←[3]+[1]⋅4
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]3x2+3x3=3 [1]12−10[2]031−1[3]0333
Äquivalenzumformung [3]←[3]+[2]⋅(−1) [3]←[3]+[2]⋅(−1)
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]2x3=4 [1]12−10[2]031−1[3]0024

Auflösen einer Stufenform

Das zum vorgegebenen LGS äquivalente in Stufenform kann jetzt schrittweise nach den Variablen aufgelöst werden.

LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]2x3=4
[3] nach x3 auflösen x3=2
x3 in [2] einsetzen und [2] nach x2 auflösen x2=−1
x2 und x3 in [1] einsetzen und [1] nach x1 auflösen x1=4
Lösung des LGS (x1;x2;x3)=(4;−1;2)

Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen

Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt.

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]2x3=4 [1]12−10[2]031−1[3]0024
Auflösen nach x3 [3]←[3]⋅12 [3]←[3]⋅12
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2+x3=−1[3]x3=2 [1]12−10[2]031−1[3]0012
Einsetzen von x3 in [2] [2]←[2]+[3]⋅(−1) [2]←[2]+[3]⋅(−1)
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]3x2=−3[3]x3=2 [1]12−10[2]030−3[3]0012
Auflösen nach x2 [2]←[2]⋅13 [2]←[2]⋅13
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]x2=−1[3]x3=2 [1]12−10[2]010−1[3]0012
Einsetzen von x3 in [1] [1]←[1]+[3] [1]←[1]+[3]
transformiertes LGS [1]x1+2x2=2[2]x2=−1[3]x3=2 [1]1202[2]010−1[3]0012
Einsetzen von x2 in [1] [1]←[1]+[2]⋅(−2) [1]←[1]+[2]⋅(−2)
LGS in Diagonalform [1]x1=4[2]x2=−1[3]x3=2 [1]1004[2]010−1[3]0012
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