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Erarbeitung

Zur Orientierung

Im letzten Absatz wurden die möglichen Lösungsmengen, die beim Lösen eines LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen auftreten, ausgehend vom Gauß-Verfahren entwickelt. In diesem Absatz gehen wir analog bei linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen vor. Ziel ist es, auch für solche LGSe die mögliche Anzahl von Lösungen zu bestimmen.

Situationen beim Gauß-Verfahren analysieren

Betrachte die linearen Gleichungssysteme in den folgenden Beispielen.

Beispiel 1

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 1 \\ [3] & x_{1} & + & x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 1 \end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (- 2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (- 1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (- 2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$
rückwärts auflösen
Lösung(en)

Beispiel 2

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 2 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & - 1 \\ [3] & x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 3 \end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (- 2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (- 1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (- 2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$
rückwärts auflösen
Lösung(en)

Beispiel 3

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 1 \\ [3] & x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & - 1 \end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (- 2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (- 1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (- 2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$
rückwärts auflösen
Lösung(en)

Beispiel 4

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 2 x_{1} & - & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 2 \\ [3] & - x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & - 1 \end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (- 2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$
rückwärts auflösen
Lösung(en)

Aufgabe 1

Führe jeweils die angegebenen Äquivalenzumformungen durch. Es entsteht dann jeweils ein LGS in Stufenform. Bei Bedarf kannst du das LGS-Umformungstool unten verwenden.

Aufgabe 2

Aus der Stufenform kann man jetzt jeweils die Gesamtheit der Lösungen bestimmen. Hier die Ergebnisse – ohne Zuordnung zu den Beispielen.

Es gibt unendlich viele Lösungen: $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (x_{2} + x_{3} + 1; x_{2}; x_{3})$ mit beliebigen reellen Zahlen $x_{2}$ und $x_{3}$ .
Es gibt keine Lösungen.
Es gibt unendlich viele Lösungen: $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (2 x_{3}; x_{3} - 1; x_{3})$ mit einer beliebigen reellen Zahl $x_{3}$ .
Es gibt genau eine Lösung: $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (4; 1; 2)$ .

Ordne den Beispielen die korrekte Beschreibung der Lösungsmenge zu. Begründe jeweils und leite ggf. die Beschreibung durch Rückwärtsauflösen her.

Aufgabe 3

Wie viele Lösungen kann ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen haben? Formuliere einen zusammenfassenden Satz.

Lösungsmengen eine LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen

Ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen ...

LGS-Umformungstool

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