Zusammenfassung - Lösungsmengen eines linearen Gleichungssystems
Lösungen eines LGS
Betrachte das folgende LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$
Dieses LGS hat u.a. folgende Lösungen:
- $(x_1; x_2; x_3) = (2; 0; 1)$
- $(x_1; x_2; x_3) = (4; 1; 2)$
- $(x_1; x_2; x_3) = (6; 2; 3)$
Das kann man mit einer Probe überprüfen. Dabei setzt man die Werte für die Variablen in alle Gleichungen ein. Man erhält dann jeweils eine wahre Aussage.
Folgende Fragen ergeben sich hieraus:
Unser Ziel
Wie viele Lösungen hat das vorgegebene LGS? Wie viele Lösungen kann ein beliebiges LGS haben?
Folgerungen aus den Ergebnissen des Gauß-Verfahrens
Die beiden folgenden Übersichten zeigen verschiedene Situationen, die bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens bei linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen entstehen können.
| Beispiel 1 | Beispiel 2 |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ |
|
Äquivalenzumformungen $[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
Äquivalenzumformungen $[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -5 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 11 \end{array}$ |
|
rückwärts auflösen $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & 1 \\ [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \end{array}$ |
|
| genau eine Lösung | keine Lösungen |
| $(x_1; x_2; x_3) = (4; 1; 2)$ |
| Beispiel 3 | Beispiel 4 |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & -1 \end{array}$ |
|
Äquivalenzumformungen $[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
Äquivalenzumformungen $[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ |
|
rückwärts auflösen $\begin{array}{lrcrcrcl} [2] &\quad & & x_2 & & & = & x_3 - 1 \\ [1] &\quad x_1 & & & & & = & x_2 + x_3 +1 = 2x_3 \end{array}$ |
rückwärts auflösen $\begin{array}{lrcrcrcl} [1] &\quad x_1 & & & & & = & x_2 + x_3 + 1 \end{array}$ |
| unendlich viele Lösungen | unendlich viele Lösungen |
|
$(x_1; x_2; x_3) = (2x_3; x_3-1; x_3)$ mit einer beliebigen reellen Zahl $x_3$ |
$(x_1; x_2; x_3) = (x_2 + x_3 +1; x_2; x_3)$ mit beliebigen reellen Zahlen $x_2$ und $x_3$ |
Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens können Gleichungen entstehen, die keine Variablen mehr enthalten. Dabei sind Gleichung wie z.B. $0 = 1$ oder $1 = 3$ möglich, die nicht erfüllbar sind. Möglich sind auch Gleichungen wie z.B. $0 = 0$ oder $3 = 3$, die stets erfüllt bzw. allgemeingültig sind. Die Auswertung solcher Gleichungen führt bei linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen zu folgenden Fällen:
Lösungsmengen eines linearen Gleichungssystems
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen) besteht aus keiner Lösung oder genau einer Lösung oder unendlich vielen Lösungen.
Beachte: Wir haben oben nur LGSe mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen betrachtet. Mit entsprechenden Überlegungen kann man zeigen, dass das zentrale Ergebnis über die Anzahl der Lösungen für beliebige lineare Gleichungssysteme gilt.
Keine Lösung:
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -5 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 11 \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
| nicht möglich |
| Lösung(en) |
| Es gibt keine Lösungen. |
Unendlich viele Lösungen:
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
| $\begin{array}{lrcrcrcl} [2] &\quad & & x_2 & & & = & x_3 - 1 \\ [1] &\quad x_1 & & & & & = & x_2 + x_3 +1 = 2x_3 \end{array}$ |
| Lösung(en) |
|
$(x_1; x_2; x_3) = (2x_3; x_3-1; x_3)$ mit einer beliebigen reellen Zahl $x_3$ |
Unendlich viele Lösungen:
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
| $\begin{array}{lrcrcrcl} [1] &\quad x_1 & & & & & = & x_2 + x_3 + 1 \end{array}$ |
| Lösung(en) |
|
$(x_1; x_2; x_3) = (x_2 + x_3 +1; x_2; x_3)$ mit beliebigen reellen Zahlen $x_2$ und $x_3$ |
Phase 2: Die Gleichungen des LGS in Stufenform nach den Variablen auflösen
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| rückwärts auflösen | $\dots$ | $\dots$ |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ |
Wenn man ein LGS beim Lösen umformt, dann darf sich dabei die Lösungsmenge nicht verändern. Umformungsschritte, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Äquivalenzumformungen.
Äquivalenzumformungen eines LGS
Die folgenden Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen und verändern somit die Lösungsmenge des LGS beim Umformen nicht:
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren
Beachte, dass sich die letztgenannte Umformung aus den beiden ersten zusammensetzt. Beachte auch, dass es weitere Äquivalenzumformungen gibt wie z.B.: eine Gleichung von einer anderen subtrahieren. Das Vertauschen von Zeilen benötigt man zum Lösen eines LGS nicht. Es ist aber zweckmäßig um die Stufenform auch optisch in Stufen darzustellen.
Beispiel – ein LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen
Von der Rechteckform zur Stufenform
Zunächst wird ein vorgegebenes LGS, das in Rechteckform vorliegen kann, schrittweise mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine Stufenform transformiert.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Rechteckform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [2] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftrightarrow [2]$ | $[1] \leftrightarrow [2]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [2] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/2$ | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/2$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$ | $[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 4$ | $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 4$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & 3x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (-1)$ | $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (-1)$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Auflösen einer Stufenform
Das zum vorgegebenen LGS äquivalente in Stufenform kann jetzt schrittweise nach den Variablen aufgelöst werden.
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ |
| $[3]$ nach $x_3$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_3 & = & 2 \end{array}$ |
| $x_3$ in $[2]$ einsetzen und $[2]$ nach $x_2$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_2 & = & -1 \end{array}$ |
| $x_2$ und $x_3$ in $[1]$ einsetzen und $[1]$ nach $x_1$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_1 & = & 4 \end{array}$ |
| Lösung des LGS | $(x_1; x_2; x_3) = (4; -1; 2)$ |
Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen
Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_3$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[2]$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & & & = & -3 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 0 & -3 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_2$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & & & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & 0 & 2 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_2$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ |
| LGS in Diagonalform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 0 & 0 & 4 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
