Übungen - Lösen eines LGS
Zur Orientierung
Bearbeite die Übungen zunächst ohne die Hilfe des LGS-Umformungstools. Benutze das LGS-Umformungstools unten zur Kontrolle und gegebenenfalls bei der Fehlersuche.
Aufgabe 1
Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren.
(a)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & + & 2x_3 & = & -12 \\ [2] &\quad 3x_1 & - & 2x_2 & + & 2x_3 & = & -14 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 17 \end{array}$
(b)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -x_1 & + & 2x_2 & - & 3x_3 & = & 6 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 3 \\ [3] &\quad 3x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 2 \end{array}$
(c)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & - & 3x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \end{array}$
(d)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & - & 2x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 6x_1 & + & 20x_2 & - & 20x_3 & = & -36 \end{array}$
Aufgabe 2
Führe die angegebenen Umformungsschritte aus. Vergleiche die beiden Vorgehensweisen. Bestimme in beiden Varianten die Lösung.
Variante 1:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 4x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -4x_1 & - & 8x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$
$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 3$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$
Variante 2:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 4x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -4x_1 & - & 8x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$
$[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot 4$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$
$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (-8)$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$
Aufgabe 3
Löse mit dem Gauß-Verfahren auf zwei verschiedene Arten. Gehe geschickt vor. Dokumentiere alle Berechnungsschritte.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x & - & 6y & + &12z & = & -21 \\ [2] &\quad 3x & - & 5y & + & 2z & = & -27 \\ [3] &\quad 2x & + & y & - & 2z & = & -4 \end{array}$
Aufgabe 4 (für Experten)
Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren.
(a)
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & - & x_2 & + & 3x_3 & + & 2x_4 & = & -5 \\ [2] &\quad -6x_1 & - & 3x_2 & - &7x_3 & - & 2x_4 & = & 5 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & 4x_2 & + & 5x_3 & - & 5x_4 & = & 13 \\ [4] &\quad 4x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & + & x_4 & = & -4 \\ \end{array}$
(b)
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 4x_2 & - & 5x_3 & + & 6x_4 & = & 39 \\ [2] &\quad 12x_1 & + & 10x_2 & - &12x_3 & + & 10x_4 & = & 86 \\ [3] &\quad 9x_1 & - & 4x_2 & + & 2x_3 & + & 3x_4 & = & 6 \\ [4] &\quad & & 2x_2 & - & 3x_3 & + & x_4 & = & 13 \\ \end{array}$
Aufgabe 5
Das Auflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit den eingeführten Äquivalenzumformungen durchführen. Ergänze in der folgenden Übersicht diese Umformungsschritte (in der Gleichungs- und der Tabellendarstellung).
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_3$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ | |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[2]$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-4)$ | |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad &&\dots \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad &\dots \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_2$ | $\dots$ | |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[1]$ | $\dots$ | |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_2$ in $[1]$ | $\dots$ | |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$ |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 0 & 0 & 4 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
