Vertiefung

Lösungsmengen veranschaulichen

Das GeoGebra-Applet verdeutlicht, wie man die Lösungen eines LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen veranschaulicht.

Zum Herunterladen: lgs_visualisierung_33.ggb

Die Lösungen einer linearen Gleichung mit $3$ Variablen beschreiben geometrisch eine Ebene im 3-dimensionalen Raum. Wenn du wissen willst, warum das so ist, dann musst du dich intensiver mit Analytischer Geometrie beschäftigen. Wir gehen hier davon aus, dass das tatsächlich so ist.

Aufgabe 1

Nutze das GeoGebra-Applet, um die Lösungsmengen der folgenden LGSe geometrisch zu veranschaulichen. Erläutere zunächst die bereits vorgenommenen Einträge in der ersten Zeile (das LGs entspricht dem voreingestellten im Applet). Gib anschließend die weiteren LGSe im Applet ein und ergänze die Einträge in der Übersicht.

	LGS	Anzahl der Lösungen	geometrische Deutung der Lösungen
(a)	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x& -& y& -& z& =& 1\\ [2]& 2x& -& y& -& 3z& =& 1\\ [3]& x& +& y& -& 2z& =& 1\end{array}$	$1$	Punkt
(b)	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x& -& y& -& z& =& 2\\ [2]& 2x& -& y& -& 3z& =& -1\\ [3]& x& +& y& -& 3z& =& 3\end{array}$
(c)	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x& -& y& -& z& =& 1\\ [2]& 2x& -& y& -& 3z& =& 1\\ [3]& x& +& y& -& 3z& =& -1\end{array}$
(d)	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x& -& y& -& z& =& 1\\ [2]& 2x& -& 2y& -& 2z& =& 2\\ [3]& -x& +& y& +& z& =& -1\end{array}$

Aufgabe 2

Verdeutliche die in Aufgabe 1 entstandenen Ebenenkonstellationen mit Hilfe von $3$ (ebenen) Kartonstücken. Mache dir mit Hilfe dieses Kartonmodells klar, welche Ebenenkonstellationen möglich sind und welche Schnittgebilde (wie keine gemeinsamen Punkte, genau ein gemeinsamer Punkt, ...) dabei entstehen können. Schließe daraus auf die Anzahl möglicher Lösungen bei einem LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen.