Vertiefung
Zielsetzung
Ziel ist es weiterhin, Sonderfälle beim Lösen eines LGS mit dem Gauß-Verfahren zu analysieren. Wir betrachten hier lineare Gleichungssysteme mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen.
Lösungsmengen veranschaulichen
Das GeoGebra-Applet verdeutlicht, wie man die Lösungen eines LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen veranschaulicht.
Zum Herunterladen: lgs_visualisierung_33.ggb
Die Lösungen einer linearen Gleichung mit $3$ Variablen beschreiben geometrisch eine Ebene im 3-dimensionalen Raum. Wenn du wissen willst, warum das so ist, dann musst du dich intensiver mit Analytischer Geometrie beschäftigen. Wir gehen hier davon aus, dass das tatsächlich so ist.
Aufgabe 1
Nutze das GeoGebra-Applet, um die Lösungsmengen der folgenden LGSe geometrisch zu veranschaulichen. Erläutere zunächst die bereits vorgenommenen Einträge in der ersten Zeile (das LGs entspricht dem voreingestellten im Applet). Gib anschließend die weiteren LGSe im Applet ein und ergänze die Einträge in der Übersicht.
| LGS |
Anzahl der Lösungen |
geometrische Deutung der Lösungen |
|
|---|---|---|---|
| (a) | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & - & z & = & 1 \\ [2] &\quad 2x & - & y & - & 3z & = & 1 \\ [3] &\quad x & + & y & - & 2z & = & 1 \end{array}$ | $1$ | Punkt |
| (b) | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & - & z & = & 2 \\ [2] &\quad 2x & - & y & - & 3z & = & -1 \\ [3] &\quad x & + & y & - & 3z & = & 3 \end{array}$ | ||
| (c) | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & - & z & = & 1 \\ [2] &\quad 2x & - & y & - & 3z & = & 1 \\ [3] &\quad x & + & y & - & 3z & = & -1 \end{array}$ | ||
| (d) | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & - & z & = & 1 \\ [2] &\quad 2x & - & 2y & - & 2z & = & 2 \\ [3] &\quad -x & + & y & + & z & = & -1 \end{array}$ |
Aufgabe 2
Verdeutliche die in Aufgabe 1 entstandenen Ebenenkonstellationen mit Hilfe von $3$ (ebenen) Kartonstücken. Mache dir mit Hilfe dieses Kartonmodells klar, welche Ebenenkonstellationen möglich sind und welche Schnittgebilde (wie keine gemeinsamen Punkte, genau ein gemeinsamer Punkt, ...) dabei entstehen können. Schließe daraus auf die Anzahl möglicher Lösungen bei einem LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen.
